FAKTÖRİYEL VE SAYMA YÖNTEMLERİ

Faktöriyel ve temel sayma, çok sayıda seçeneği tek tek listelemeden kaç farklı sonuç oluşabileceğini bulmayı sağlar. Toplama ve çarpma kuralları seçim yollarını düzenlerken faktöriyel, ardışık çarpımları kısa ve kullanışlı bir gösterime dönüştürür.

Önceki Fonksiyonlar yazısında iki küme arasındaki özel eşlemeleri inceledik. Bu faktöriyel ve temel sayma anlatımında sayma kurallarını ve faktöriyeli ele alacağız. Sıradaki Permütasyon ve Kombinasyon konusu bu temeli sıralama ve seçme problemlerine uygulayacaktır.

SAYMANIN TEMEL MANTIĞI

Seçenekleri Tekrar Etmeden ve Eksik Bırakmadan Sayma

Bir işin kaç farklı biçimde yapılabileceğini bulurken önce seçimlerin birbirinin alternatifi mi, yoksa ardışık aşamaları mı olduğu belirlenir. Birbirini dışlayan seçeneklerde toplama; birlikte tamamlanan aşamalarda çarpma kuralı kullanılır. Doğru kuralı seçmenin anahtarı, soru içindeki “veya” ile “ve” ilişkisini doğru okumaktır.

TOPLAMA KURALI

Aynı Anda Gerçekleşmeyen Alternatif Yolları Birleştirme

Bir işlem a farklı yolla, ondan ayrı başka bir işlem b farklı yolla yapılabiliyor ve bu iki seçenek aynı anda seçilmiyorsa toplam a+b farklı yol vardır. Kümeler açısından bu, ayrık kümelerin eleman sayılarını toplamaktır. Seçenekler ayrık değilse ortak durumların iki kez sayılmamasına dikkat edilir.

ÇARPMA KURALI

Birlikte Tamamlanan Aşamaların Seçenek Sayılarını Çarpma

Bir işin ilk aşaması a, her ilk aşama seçiminin ardından ikinci aşaması b farklı yolla yapılabiliyorsa bütün işlem a*b farklı biçimde tamamlanır. Üç veya daha fazla aşamada da her basamağın seçenek sayısı sırayla çarpılır.

ÇOK AŞAMALI YOL VE DAĞITMA PROBLEMLERİ

Her Aşamadaki Bağımsız Seçimi Ayrı Bir Çarpan Olarak Yazma

Bir yerden başka bir yere ara noktalar üzerinden gidiliyorsa her yol bölümü ayrı bir aşamadır. Benzer biçimde her nesne için aynı sayıda bağımsız hedef bulunuyorsa seçenek sayısı tekrar eden çarpım, yani üs biçiminde yazılabilir. Dört farklı mektubun her biri beş kutudan herhangi birine atılabiliyorsa sonuç 5*5*5*5=5⁴ olur.

RAKAMLARLA SAYI OLUŞTURMA

Her Basamağın Seçenek Sayısını Basamak Koşuluna Göre Belirleme

Rakamlarla sayı oluştururken yüzler, onlar ve birler basamağı ayrı aşamalardır. Tekrar serbestse bir basamakta kullanılan rakam sonraki basamakta yeniden kullanılabilir. Tekrar yasaksa her seçimden sonra seçenek sayısı bir azalır. Sayının ilk basamağı sıfır olamaz; bu kural yalnız sayıların başındaki basamak için uygulanır.

TEKRARSIZ VE KOŞULLU SAYI OLUŞTURMA

Önce En Kısıtlı Basamağı Seçip Kalan Seçenekleri Azaltma

Rakamları farklı sayı sorularında seçilmiş rakam tekrar kullanılamaz. Çiftlik, tekliğin yanı sıra belirli bir sayıdan büyük veya küçük olma koşulu varsa önce koşulu en fazla sınırlayan basamak ele alınır. Sıfır ve son basamak koşulu birlikte bulunuyorsa durumları ayırmak güvenlidir.

FAKTÖRİYEL VE TEMEL SAYMA: FAKTÖRİYEL TANIMI

1’den n’ye Kadar Ardışık Pozitif Tam Sayıları Çarpma

n negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere, 1’den n’ye kadar olan pozitif tam sayıların çarpımı n faktöriyel olarak adlandırılır ve n! ile gösterilir. n!=n*(n−1)*(n−2)*…*2*1 biçimindedir. Tanım gereği 0!=1 ve 1!=1‘dir.

FAKTÖRİYELİN TEMEL ÖZELLİKLERİ

Büyük Faktöriyeli Küçük Faktöriyele Kadar Açma

Faktöriyel ifadelerinde bütün çarpımı yazmak yerine gerekli yere kadar açılım yapılır. n!=n*(n−1)! ve (n+1)!=(n+1)*n! bağıntıları en sık kullanılan dönüşümlerdir. Toplam veya fark içeren ifadelerde ortak olan en küçük faktöriyel parantezine almak işlemi kısaltır.

FAKTÖRİYEL DENKLEMLERİ VE TANIM KOŞULU

Faktöriyel İçindeki İfadeyi Negatif Olmayan Tam Sayı Yapma

Temel düzeyde faktöriyel, negatif olmayan tam sayılar için tanımlıdır. Bu nedenle (n−3)! bulunan bir ifadede n−3≥0 ve n’nin tam sayı olması gerekir. Denklem çözerken önce büyük faktöriyel küçük olana kadar açılır, ortak çarpanlar sadeleştirilir ve kalan cebirsel denklem çözülür.

FAKTÖRİYELDE SONDAN SIFIR SAYISI

Çarpım İçindeki 10 Çarpanlarını Beşlerin Sayısıyla Belirleme

Bir sayının sonundaki her sıfır, çarpanlar arasında bir 10=2*5 oluşmasından gelir. Faktöriyel içinde 2 çarpanı 5’ten daha fazla olduğu için yalnız 5’lerin sayılması yeterlidir. n!‘in sonundaki sıfır sayısı ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+⌊n/125⌋+… toplamıyla bulunur.

FAKTÖRİYELDE ASAL ÇARPAN VE BÖLÜNEBİLME

Bir Asalın Faktöriyel İçindeki Üs Sayısını Katlarını Sayarak Bulma

Bir asal sayı p’nin n! içindeki toplam üssü ⌊n/p⌋+⌊n/p²⌋+⌊n/p³⌋+… ile hesaplanır. Bu yöntem, bir faktöriyelin belirli bir sayıya bölünüp bölünmediğini veya verilen kuvveti kaç kez içerdiğini belirler. Bileşik bir bölen için sayı asal çarpanlarına ayrılır ve her asalın gerektirdiği üs ayrı incelenir.

FAKTÖRİYEL VE TEMEL SAYMA TEMEL NOKTALAR

• Seçeneklerin alternatif mi, ardışık mı olduğunu belirlemek gerekir.
• “Veya” için toplama, birlikte tamamlanan “ve” aşamaları için çarpma kuralını kullanmak gerekir.
• Çok aşamalı işlemlerde her basamağın seçenek sayısını ayrı yazılır.
• Sayı oluştururken ilk basamakta sıfır kullanılamayacağını göz önünde bulundurulur.
• Tekrarsız seçimde kullanılan seçeneği sonraki basamaklardan çıkarmak gerekir.
• Çift veya tek sayı koşulunda birler basamağını önce değerlendirmek gerekir.
• 0!=1 ve 1!=1 kurallarını hatırlamak gerekir.
• Büyük faktöriyeli yalnız gerektiği kadar açmak gerekir.
• Faktöriyel içlerinin negatif olmayan tam sayı olması gerektiğini kontrol etmek gerekir.
• Sondaki sıfır sayısında 5, 25, 125 ve devam eden 5 kuvvetlerini birlikte saymak gerekir.
• Asal çarpan üssünde asalın bütün kuvvetlerinin katkısını eklemek gerekir.