KPSS faktöriyel ve sayma yöntemleri konu anlatımı kapsamında temel sayma kuralları, rakamlarla sayı oluşturma, faktöriyel tanımı ve denklemleri ile faktöriyelde sondan sıfır ve asal çarpan üssü hesapları işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
SAYMANIN TEMEL MANTIĞI
Seçenekleri Tekrar Etmeden ve Eksik Bırakmadan Sayma
Bir iş, birbirini dışlayan alternatif yollarla gerçekleştirilebiliyorsa toplam yol sayısı, her yoldaki seçenek sayılarının toplamıdır. İşin tamamlanması için ardışık aşamaların tümü gerekiyorsa toplam yol sayısı, aşamaların seçenek sayılarının çarpımıdır. “Veya” ile ayrılan yolların birbirini dışlaması toplama kuralının; birlikte tamamlanan aşamaların bulunması çarpma kuralının koşuludur.
| Soru dili | Kural | Sonuç |
|---|---|---|
| Birinci yol veya ikinci yol | Toplama | a+b |
| Birinci aşama ve ikinci aşama | Çarpma | a*b |
| Birden fazla ardışık aşama | Çarpma | a*b*c*… |
TOPLAMA KURALI
Aynı Anda Gerçekleşmeyen Alternatif Yolları Birleştirme
Bir işlem a farklı yolla, ondan ayrı başka bir işlem b farklı yolla yapılabiliyor ve bu iki seçenek aynı anda seçilmiyorsa toplam a+b farklı yol vardır. Kümeler açısından bu, ayrık kümelerin eleman sayılarını toplamaktır. Seçenekler ayrık değilse ortak durumların iki kez sayılmamasına dikkat edilir.
B) 10
C) 16
D) 20
E) 25
ÇARPMA KURALI
Birlikte Tamamlanan Aşamaların Seçenek Sayılarını Çarpma
Bir işin ilk aşaması a, her ilk aşama seçiminin ardından ikinci aşaması b farklı yolla yapılabiliyorsa bütün işlem a*b farklı biçimde tamamlanır. Üç veya daha fazla aşamada da her basamağın seçenek sayısı sırayla çarpılır.
B) 24
C) 48
D) 72
E) 96
ÇOK AŞAMALI YOL VE DAĞITMA PROBLEMLERİ
Her Aşamadaki Bağımsız Seçimi Ayrı Bir Çarpan Olarak Yazma
Bir yerden başka bir yere ara noktalar üzerinden gidiliyorsa her yol bölümü ayrı bir aşamadır. Benzer biçimde her nesne için aynı sayıda bağımsız hedef bulunuyorsa seçenek sayısı tekrar eden çarpım, yani üs biçiminde yazılabilir. Dört farklı mektubun her biri beş kutudan herhangi birine atılabiliyorsa sonuç 5*5*5*5=5⁴ olur.
B) 90
C) 120
D) 180
E) 225
RAKAMLARLA SAYI OLUŞTURMA
Her Basamağın Seçenek Sayısını Basamak Koşuluna Göre Belirleme
Rakamlarla sayı oluştururken yüzler, onlar ve birler basamağı ayrı aşamalardır. Tekrar serbestse bir basamakta kullanılan rakam sonraki basamakta yeniden kullanılabilir. Tekrar yasaksa her seçimden sonra seçenek sayısı bir azalır. Sayının ilk basamağı sıfır olamaz; bu kural yalnız sayıların başındaki basamak için uygulanır.
| Koşul | İlk basamak | Sonraki basamaklar |
|---|---|---|
| Sıfır yok, tekrar serbest | Tüm rakamlar | Tüm rakamlar |
| Sıfır var, tekrar serbest | Sıfır dışındakiler | Tüm rakamlar |
| Tekrar yasak | Koşula uygun seçim | Her seçimden sonra bir eksik |
| Çift sayı | Başa sıfır gelmez | Son basamak çift olmalı |
B) 150
C) 180
D) 200
E) 216
TEKRARSIZ VE KOŞULLU SAYI OLUŞTURMA
Koşulların Basamak Seçim Sayısına Etkisi
Rakamlarla sayı oluştururken yüzler, onlar ve birler basamakları ayrı seçim aşamalarıdır. Tekrar serbest olduğunda bir rakam birden fazla basamakta kullanılabilir; tekrar yasak olduğunda seçilen rakam sonraki basamakların seçenek kümesinden çıkar. Sayının ilk basamağında sıfır bulunamaz; tek sayı koşulu son basamağı tek rakamlarla, çift sayı koşulu çift rakamlarla sınırlar. Bu koşullar, basamaklara düşen seçenek sayısını ve dolayısıyla çarpma kuralındaki her çarpanı belirler.
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
FAKTÖRİYEL VE TEMEL SAYMA: FAKTÖRİYEL TANIMI
1’den n’ye Kadar Ardışık Pozitif Tam Sayıları Çarpma
n negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere, 1’den n’ye kadar olan pozitif tam sayıların çarpımı n faktöriyel olarak adlandırılır ve n! ile gösterilir. n!=n*(n−1)*(n−2)*…*2*1 biçimindedir. Tanım gereği 0!=1 ve 1!=1‘dir.
| İfade | Açılım | Değer |
|---|---|---|
| 3! | 3*2*1 | 6 |
| 5! | 5*4*3*2*1 | 120 |
| 7! | 7*6*5! | 5040 |
B) 780
C) 800
D) 840
E) 900
FAKTÖRİYELİN TEMEL ÖZELLİKLERİ
Büyük Faktöriyeli Küçük Faktöriyele Kadar Açma
Faktöriyel ifadelerinde bütün çarpımı yazmak yerine gerekli yere kadar açılım yapılır. n!=n*(n−1)! ve (n+1)!=(n+1)*n! bağıntıları en sık kullanılan dönüşümlerdir. Toplam veya fark içeren ifadelerde ortak olan en küçük faktöriyel parantezine almak işlemi kısaltır.
B) 63
C) 70
D) 72
E) 80
FAKTÖRİYEL DENKLEMLERİ VE TANIM KOŞULU
Faktöriyel İçindeki İfadeyi Negatif Olmayan Tam Sayı Yapma
Temel düzeyde faktöriyel, negatif olmayan tam sayılar için tanımlıdır. Bu nedenle (n−3)! bulunan bir ifadede n−3≥0 ve n’nin tam sayı olması gerekir. Denklem çözerken önce büyük faktöriyel küçük olana kadar açılır, ortak çarpanlar sadeleştirilir ve kalan cebirsel denklem çözülür.
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
FAKTÖRİYELDE SONDAN SIFIR SAYISI
Çarpım İçindeki 10 Çarpanlarını Beşlerin Sayısıyla Belirleme
Bir sayının sonundaki her sıfır, çarpanlar arasında bir 10=2*5 oluşmasından gelir. Faktöriyel içinde 2 çarpanı 5’ten daha fazla olduğu için yalnız 5’lerin sayılması yeterlidir.
⌊x⌋ gösterimi, x’i aşmayan en büyük tam sayıyı belirtir. Örneğin 30’un 9’a bölümü 3 ile 4 arasındadır; bu nedenle payı 30, paydası 9 olan yatay kesrin ⌊309⌋ değeri 3’tür.
n!‘in sonundaki sıfır sayısı ⌊n5⌋+⌊n25⌋+⌊n125⌋+… toplamıyla bulunur.
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
FAKTÖRİYELDE ASAL ÇARPAN VE BÖLÜNEBİLME
Bir Asalın Faktöriyel İçindeki Üs Sayısını Katlarını Sayarak Bulma
Bir asal sayı p’nin n! içindeki toplam üssü ⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+… ile hesaplanır. Bu yöntem, bir faktöriyelin belirli bir sayıya bölünüp bölünmediğini veya verilen kuvveti kaç kez içerdiğini belirler. Bileşik bir bölen için sayı asal çarpanlarına ayrılır ve her asalın gerektirdiği üs ayrı incelenir.
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15