Mutlak değer, bir gerçel sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığını gösterir. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. KPSS Matematik sorularında bu kavram; işaret incelemesi, denklem, eşitsizlik, en küçük değer ve iki nokta arasındaki uzaklık biçimlerinde kullanılır.
Önceki Basit Eşitsizlikler yazısında aralıklar ve sayı doğrusu ele alınmıştı. Mutlak değer bu bilgiyi uzaklık diliyle yeniden kurar. Sıradaki Üslü Sayılar konusu ise mutlak değerin çift kuvvetlerle ilişkisini geliştirecektir.
MUTLAK DEĞERİN ANLAMI VE PARÇALI TANIMI
Sıfıra Uzaklık ve Sonucun İşareti
Bir x sayısının sıfıra uzaklığı |x| ile gösterilir. Örneğin 5 ile −5, sayı doğrusunda sıfırın farklı taraflarında bulunmasına rağmen sıfıra eşit uzaklıktadır; bu nedenle |5| = |−5| = 5 olur. Sıfırın kendisine uzaklığı ise |0| = 0‘dır.
| x’in Durumu | |x| Sonucu | Gerekçe |
|---|---|---|
| x > 0 | x | Pozitif ifade aynen çıkar. |
| x = 0 | 0 | Sıfırın sıfıra uzaklığı sıfırdır. |
| x < 0 | −x | Negatif ifade, işareti değiştirilerek pozitif yapılır. |
Parçalı tanımda x negatifken yazılan −x ifadesi olumsuz bir sonuç değildir. x zaten negatif olduğu için önündeki eksi işareti sonucu pozitif yapar. Örneğin x = −4 için −x = −(−4) = 4 bulunur.
B) 7
C) 12
D) 15
E) 18
İÇİN İŞARETİNE GÖRE MUTLAK DEĞERİ AÇMA
Kritik Noktaları Belirleyerek Parçalara Ayırma
Mutlak değerin içinde yalnız x değil, ax + b biçiminde bir ifade de bulunabilir. Önce bu ifade sıfıra eşitlenerek kritik nokta bulunur. İfade kritik noktanın bir tarafında negatif, diğer tarafında pozitif olur; mutlak değer buna göre açılır.
Örneğin |x − 4| için kritik nokta x = 4’tür. x ≥ 4 iken iç pozitif olduğundan |x − 4| = x − 4; x < 4 iken iç negatif olduğundan |x − 4| = −(x − 4) = 4 − x yazılır.
B) 6
C) 2x + 2
D) 6 − 2x
E) 2x − 6
MUTLAK DEĞERİN UZAKLIK YORUMU
Bir Noktaya Olan Uzaklığı Gösterme
|x − a|, x sayısının sayı doğrusunda a noktasına uzaklığıdır. |x − a| = r ve r > 0 ise x, a’nın iki yanında r birim uzakta bulunur: x = a − r veya x = a + r.
“a noktasına uzaklığı en çok r” ifadesi |x − a| ≤ r, “r birimden az” ifadesi |x − a| < r biçiminde yazılır. En az veya daha fazla uzaklıkta olma durumunda ise çözüm, merkezdeki aralığın dışına çıkar.
B) 5
C) 8
D) 10
E) 13
MUTLAK DEĞERİN TEMEL ÖZELLİKLERİ
Çarpım, Bölüm, Simetri ve Sıfır Koşulu
Mutlak değer işaret bilgisini uzaklığa dönüştürür. Bu nedenle bir sayıyla onun ters işaretlisinin mutlak değerleri eşittir. Çarpım ve bölümde mutlak değer, çarpanlara veya pay ile paydaya dağıtılabilir.
| Özellik | Koşul / Açıklama |
|---|---|
| |a| ≥ 0 | Her gerçel sayı için geçerlidir. |
| |a| = 0 ⇔ a = 0 | Mutlak değerin sıfır olmasının tek yolu içinin sıfır olmasıdır. |
| |−a| = |a| | Sıfıra göre simetrik sayıların uzaklıkları eşittir. |
| |ab| = |a| · |b| | Çarpımın mutlak değeri çarpanlara ayrılabilir. |
| |a/b| = |a|/|b| | b ≠ 0 olmalıdır. |
| |a − b| = |b − a| | İki nokta arasındaki uzaklık yönsüzdür. |
| |a + b| ≤ |a| + |b| | Üçgen eşitsizliği olarak adlandırılır. |
Mutlak değerlerin toplamı sıfırsa her terim ayrı ayrı sıfır olmalıdır. Çünkü sıfırdan büyük veya sıfıra eşit sayıların toplamı, içlerinden biri pozitifken sıfır olamaz.
B) 1
C) 3
D) 6
E) 9
MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
İki Olasılıklı Denklem Kurma
|A| = k denkleminde k negatifse çözüm yoktur. k = 0 ise yalnız A = 0 alınır. k pozitifse A = k veya A = −k olmak üzere iki olasılık incelenir.
Karşı tarafta sabit yerine değişkenli bir ifade varsa önce bu ifadenin negatif olamayacağı belirlenir. Örneğin |2x − 1| = x + 2 denkleminde x + 2 ≥ 0 koşulu bulunmadan iki durumdan çıkan kökler doğrudan kabul edilmez; her aday özgün denklemde kontrol edilir.
B) −10
C) −2
D) 7
E) 10
BİRDEN FAZLA MUTLAK DEĞER İÇEREN DENKLEMLER
Kritik Noktalara Göre Aralık Aralık Çözme
Bir ifadede birden fazla mutlak değer varsa her mutlak değerin içini sıfır yapan noktalar bulunur ve sayı doğrusu bu noktalara göre aralıklara ayrılır. Her aralıkta içerilerin işaretleri sabit olduğu için mutlak değerler uygun biçimde açılır. Bulunan sonuç yalnız çözüm yapılan aralığa uyuyorsa kabul edilir.
|x − a| + |x − b| ifadesi, x’in a ve b noktalarına uzaklıklarının toplamıdır. a ≤ x ≤ b iken toplam sabit olarak b − a olur. x bu aralığın dışına çıktıkça uzaklıklar toplamı büyür.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10
MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER
Küçükse Arada, Büyükse Dışarıda Kuralı
k pozitif olmak üzere |A| < k, A’nın sıfıra uzaklığının k’den küçük olduğunu söyler; bu nedenle −k < A < k yazılır. |A| > k ise uzaklık k’den büyük olduğundan A < −k veya A > k olur.
| Mutlak Değerli Eşitsizlik | Eş Değer Gösterim | Bağlaç |
|---|---|---|
| |A| < k | −k < A < k | ve |
| |A| ≤ k | −k ≤ A ≤ k | ve |
| |A| > k | A < −k veya A > k | veya |
| |A| ≥ k | A ≤ −k veya A ≥ k | veya |
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
ÇİFT TARAFLI MUTLAK DEĞER EŞİTSİZLİKLERİ
Alt ve Üst Uzaklık Sınırlarını Birleştirme
a < |A| < b biçiminde hem alt hem üst sınır varsa iki koşul birlikte sağlanmalıdır. Önce |A| < b ile merkez aralık bulunur; ardından |A| > a ile merkeze a birimden daha yakın olan bölüm çıkarılır.
a negatifse a < |A| koşulu zaten her zaman doğrudur. Bu nedenle örneğin −2 < |x − 1| ≤ 3, yalnız |x − 1| ≤ 3 koşuluna indirgenir. Sorularda gereksiz alt sınırları fark etmek işlem yükünü azaltır.
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
EN KÜÇÜK DEĞER VE UZAKLIKLAR TOPLAMI
Kırılma Noktaları ve Sabit En Küçük Değer
|ax + b| ifadesinin alabileceği en küçük değer 0’dır ve bu değer ax + b = 0 olduğunda alınır. Birden fazla mutlak değerin toplamında ise her terimi aynı anda sıfır yapmak her zaman mümkün değildir; sayı doğrusundaki uzaklık yorumu kullanılmalıdır.
|x − a| + |x − b| ifadesi a ile b arasındaki her x değeri için |b − a|‘ya eşittir ve bu, ifadenin en küçük değeridir. Üç veya daha fazla sıralı noktaya uzaklıkların toplamında ise ortadaki nokta ya da medyan konumu kritik hâle gelir.
B) 4
C) 5
D) 7
E) 9
SÖZEL PROBLEMLERDE MUTLAK DEĞER
Tolerans ve Sapma İfadelerini Matematikleştirme
Bir ölçümün hedef değerden sapması, işaretinden bağımsız olarak uzaklık belirtir. Bu nedenle sıcaklık, üretim toleransı, hız farkı ve ölçüm hatası problemlerinde mutlak değer kullanılır. Hedef a, izin verilen sapma r ise “en fazla r sapma” koşulu |x − a| ≤ r biçimindedir.
“Tam r birim sapma” eşitlik, “r birimden az sapma” küçük eşitsizlik, “en az r birim uzaklık” ise büyük veya eşit eşitsizliği gerektirir. Sonuç yazılırken problemde ölçülen niceliğin doğal sınırları da korunmalıdır.
B) |T − 20| ≤ 3
C) |T + 20| ≤ 3
D) |T − 3| ≤ 20
E) |T − 20| = 3
MUTLAK DEĞER SORULARINDA TEMEL NOKTALAR
- Mutlak değeri önce “uzaklık” olarak yorumlamayı denemek gerekir.
- İçerideki ifadeyi sıfır yapan kritik noktayı belirlemek gerekir.
- İç pozitifse aynen, negatifse tamamının işaretini değiştirerek açmak gerekir.
- Mutlak değerli bir ifadenin negatif olamayacağını göz önünde bulundurulur.
- |A| = k denkleminde k < 0 ise çözüm olmadığını kontrol etmek gerekir.
- |A| < k için aradaki, |A| > k için dışarıdaki bölgeleri almak gerekir.
- Birden fazla mutlak değerde sayı doğrusunu kritik noktalara ayrılır.
- Bulduğunuz kökün çalıştığınız aralığa ve özgün denkleme uyduğunu denetlemek gerekir.
- Tam sayı sorularında açık ve kapalı uçları ayrı ayrı değerlendirmek gerekir.
- En küçük değer sorularında uzaklıkların toplamını ve kırılma noktalarını kullanmak gerekir.