KPSS Bölünebilme Kuralları konu anlatımı kapsamında tam bölünme ve kalan ilişkisi, son basamak ve son basamak gruplarına dayalı kurallar, rakamlar toplamı ve dönüşümlü toplam kuralları, bileşik bölenlere göre bölünebilme, kontrol değerleriyle kalan bulma, bilinmeyen rakam soruları ve toplam, fark ve çarpımda bölünebilme işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
BÖLÜNEBİLME NE DEMEKTİR?
Tam Bölünme ve Kalan İlişkisi
A ve B doğal sayıları, B sıfırdan farklı olmak üzere, A = B * k biçiminde yazılabiliyorsa A sayısı B’ye tam bölünür. Aynı durum bölme algoritmasında A = B * bölüm + 0 biçiminde görülür. Dolayısıyla bölünebilme, bölümün tam sayı ve kalanın sıfır olmasıdır.
Bir sayı B’ye tam bölünmüyorsa yine de bölünebilme kuralı çoğu zaman kalanı verir. Örneğin bir doğal sayının 3’e bölümünden kalan, rakamları toplamının 3’e bölümünden kalana eşittir. Bu özellik büyük sayılarda doğrudan işlem yapma ihtiyacını azaltır.
SON BASAMAĞA BAKILAN KURALLAR
2, 5 ve 10 ile Bölünebilme
Onluk sistemde birler basamağı, sayının 10’a bölümünden kalanı belirler. Bu nedenle 2, 5 ve 10 ile bölünebilme için yalnız son rakama bakmak yeterlidir.
| Bölen | Koşul | Örnek |
|---|---|---|
| 2 | Birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olmalıdır. | 7346 çift olduğu için 2’ye tam bölünür. |
| 5 | Birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. | 1285 sayısı 5’e tam bölünür. |
| 10 | Birler basamağı 0 olmalıdır. | 9430 sayısı 10’a tam bölünür. |
Son basamak yalnız tam bölünmeyi değil, kalanı da gösterir. Bir sayının 10’a bölümünden kalan son rakamdır. 5’e bölümde son rakamın 5’e bölümünden; 2’ye bölümde ise son rakamın tek veya çift oluşundan yararlanılır.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
SON İKİ VEYA ÜÇ BASAMAĞA BAKILAN KURALLAR
4, 8, 25 ve 100 ile Bölünebilme
100 sayısı 4’ün, 1000 sayısı ise 8’in tam katıdır. Bu yüzden yüzler basamağının solunda kalan bölüm 4 ile; binler basamağının solunda kalan bölüm de 8 ile bölünebilme sonucunu değiştirmez.
| Bölen | Kontrol Edilen Bölüm | Tam Bölünme Koşulu |
|---|---|---|
| 4 | Son iki basamak | Oluşan iki basamaklı sayı 4’ün katı olmalıdır. |
| 8 | Son üç basamak | Oluşan üç basamaklı sayı 8’in katı olmalıdır. |
| 25 | Son iki basamak | 00, 25, 50 veya 75 ile bitmelidir. |
| 100 | Son iki basamak | Son iki basamak 00 olmalıdır. |
Son iki ya da son üç basamak 0 ile başlayabilir. Örneğin 73004 sayısında son iki basamak 04 kabul edilir ve 4’e tam bölündüğü için sayının tamamı da 4’e tam bölünür.
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
RAKAMLAR TOPLAMINA BAKILAN KURALLAR
3 ve 9 ile Bölünebilme
Bir doğal sayının rakamları toplamı 3’ün katıysa sayı 3’e; 9’un katıysa sayı 9’a tam bölünür. Bunun nedeni 10’un hem 3’e hem 9’a bölümünden kalanın 1 olmasıdır. Basamak değerleri bu bölenlere göre rakamların kendisiyle aynı kalanı verir.
Rakamlar toplamı 3 veya 9’dan büyükse işlem yeniden uygulanabilir. Örneğin 76824 sayısının rakamları toplamı 27’dir. 27 hem 3’ün hem 9’un katı olduğundan sayı her iki bölenle de kalansız bölünür.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8
11 İLE BÖLÜNEBİLME
Dönüşümlü Toplam Yöntemi
11 ile bölünebilmede rakamlar sağdan sola doğru artı ve eksi işaretleriyle dönüşümlü olarak gruplandırılır. Artı işaretli rakamlar toplamı ile eksi işaretli rakamlar toplamının farkı 0 veya 11’in tam katıysa sayı 11’e tam bölünür.
Beş basamaklı ABCDE sayısı için denetim (A + C + E) − (B + D) biçiminde yapılabilir. İşaretlere sağdan ya da soldan başlanması sonucu yalnız işaret yönünden değiştirir; tam bölünme kararı değişmez.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
BİRLEŞİK BÖLENLER İÇİN KURAL OLUŞTURMA
Aralarında Asal Çarpanları Birlikte Kullanma
İki pozitif tam sayının ortak pozitif bölenleri yalnızca 1 ise bu sayılar aralarında asaldır. Örneğin 2 ve 3’ün ortak pozitif böleni yalnızca 1 olduğundan bu sayılar aralarında asaldır.
Bir sayı, aralarında asal iki sayının her birine tam bölünüyorsa bu sayıların çarpımına da tam bölünür. Örneğin 2 ve 3 aralarında asal olduğu için her ikisine tam bölünen bir sayı 6’ya; 4 ve 9 aralarında asal olduğu için her ikisine tam bölünen bir sayı 36’ya tam bölünür.
| Bölen | Birlikte Kontrol Edilecek Kurallar |
|---|---|
| 6 | 2 ve 3 |
| 12 | 3 ve 4 |
| 15 | 3 ve 5 |
| 18 | 2 ve 9 |
| 24 | 3 ve 8 |
| 36 | 4 ve 9 |
| 45 | 5 ve 9 |
Seçilen çarpanların aralarında asal olması önemlidir. Bir sayının 2’ye ve 4’e bölünmesi, 8’e bölündüğünü garanti etmez; çünkü 2 ile 4 aralarında asal değildir. Örneğin 12 sayısı hem 2’ye hem 4’e bölünür, fakat 8’e bölünmez.
B) 9
C) 10
D) 12
E) 18
BÖLÜNEBİLME KURALIYLA KALAN BULMA
Sayının Yerine Kontrol Değerini Kullanma
3 ve 9 için rakamlar toplamı, 4 için son iki basamak, 8 için son üç basamak ve 10 için son basamak yalnız tam bölünmeyi değil, aynı bölenle bölümden kalanı da korur. Kontrol edilen küçük sayı bölenin kendisine eşit veya daha büyükse yeniden bölünerek gerçek kalan bulunur.
11 ile bölümden kalanı bulmak için rakamlar sağdan, yani birler basamağından başlayarak +, −, +, −, … biçiminde işaretlenir ve toplanır. Elde edilen toplam, 11’in uygun katları eklenip çıkarılarak 0 ile 10 arasına getirilir; bu aralıktaki değer gerçek kalandır. Tam bölünme kararında işaretlemeye soldan başlanması da mümkündür; işaret değişimi toplamın sıfır olup olmadığını değiştirmez. Kalan hesabında işaret yönü sonucu değiştirebildiğinden artı işareti birler basamağından başlar.
Örneğin 1231 için sağdan başlayan toplam 1 − 3 + 2 − 1 = −1 olur. Negatif toplamı aralığa taşımak için 11 eklenir: −1 + 11 = 10. Aynı rakamlar soldan işaretlendiğinde 1 − 2 + 3 − 1 = 1 bulunur; bu değer tam bölünme kararını değiştirmez, ancak gerçek kalan değildir. Nitekim 1231 = 11 * 111 + 10 olduğundan kalan 10’dur.
Örneğin 56382 sayısının rakamları toplamı 24’tür. 24’ün 9’a bölümünden kalan 6 olduğuna göre 56382’nin 9’a bölümünden kalan da 6’dır.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
BİLİNMEYEN RAKAMLI BÖLÜNEBİLME SORULARI
Koşulları Sırayla Daraltma
Bir sayıda birden fazla bilinmeyen rakam varsa önce en az seçenek bırakan kural uygulanır. 5 veya 10 kuralı son rakamı hemen sınırlar; 2 kuralı tek-çift ayrımı yapar; ardından 3, 9 ya da 11 kuralıyla kalan seçenekler elenir.
“En büyük”, “en küçük”, “kaç farklı” veya “değerler toplamı” sorularında tek bir uygun rakam sonucu belirlemeye yetmez; uygun rakam olasılıklarının tümü birlikte değerlendirilir. Rakamların farklı olması veya sayının basamak sayısını koruması gibi ek koşullar, geçerli olasılıkları sınırlar.
B) 11
C) 12
D) 13
E) 15
TOPLAM, FARK VE ÇARPIMDA BÖLÜNEBİLME
Ortak Böleni Koruyan İşlemler
A ve B sayılarının her ikisi de m’ye tam bölünüyorsa A + B ve A − B de m’ye tam bölünür. Ayrıca A sayısı m’ye tam bölünüyorsa A’nın herhangi bir tam sayı katı da m’ye tam bölünür. Ancak yalnız A’nın m’ye bölünmesi, A + B’nin de m’ye bölüneceğini göstermez; B’nin kalanı sonucu değiştirebilir.
Farklı bölenler verildiğinde iki sayının ortak olarak kesin bölündüğü en büyük sayı düşünülür. Örneğin 12’nin katı olan A ve 18’in katı olan B, en az 6’nın katıdır. Bu yüzden A + B kesinlikle 6’ya tam bölünür.
B) 12
C) 14
D) 21
E) 28