ASAL SAYILAR VE ASAL ÇARPANLARA AYIRMA

KPSS Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma konu anlatımı kapsamında asal ve bileşik sayılar, aralarında asal olma, karekök sınırına kadar asallık denetimi, asal çarpanlara ayırma, pozitif bölen sayısı ve pozitif bölenler toplamı, negatif ve tam bölenler, asal ve asal olmayan bölenler, tam kare sayılarda bölen özellikleri ve bölen sayısından asal çarpan yapısını bulma işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

ASAL SAYI NEDİR?

Tanım ve Temel Özellikler

1’den büyük ve yalnız 1 ile kendisine tam bölünebilen doğal sayılara asal sayı denir. Bir asal sayının pozitif bölenleri tam olarak iki tanedir. 2, 3, 5, 7 ve 11 bu tanıma uyar; 6 sayısı ise 1, 2, 3 ve 6 bölenlerine sahip olduğu için asal değildir.

• 1 asal değildir; çünkü yalnız bir pozitif böleni vardır.
• 2 en küçük asal sayı ve tek çift asal sayıdır.
• 2 dışındaki bütün asal sayılar tektir; ancak her tek sayı asal değildir.
• 1’den büyük asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı denir.
• Bir asal sayının pozitif bölenleri toplamı, sayının bir fazlasıdır.

100’den küçük asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

ASAL SAYILARLA KURULAN İŞLEMLER

Asal Değişkenlerde Olasılıkları Sınırlama

Bir soruda x ve y’nin asal olduğu belirtilirse bu bilgi, olası değerleri güçlü biçimde sınırlar. Çarpımları verilmişse sayının asal çarpanlarına; toplamları verilmişse tek çift yapısına bakılır. İki asal sayının toplamı tek ise sayılardan biri mutlaka 2’dir. Çünkü 2 dışındaki bütün asal sayılar tek, iki tek sayının toplamı ise çifttir.

Bir asal sayı başka bir asal sayıya tam bölünüyorsa bu iki sayı eşittir. Ayrıca p * q biçimindeki bir sayının p ve q’dan başka asal çarpanı bulunmaz; fakat p ile q aynı asal sayı olabilir.

BİR SAYININ ASAL OLUP OLMADIĞINI BELİRLEME

Karekök Sınırına Kadar Deneme

n sayısı bileşikse n = a * b biçiminde, 1’den büyük iki doğal sayının çarpımıdır. Bu iki çarpanın ikisi de n’nin karekökünden büyük olamaz; aksi durumda çarpımları n’den büyük olur. Dolayısıyla n’nin asal olup olmadığını anlamak için yalnız √n değerini aşmayan asal bölenler denenir.

1. Önce 2, 3 ve 5 ile bölünebilme kuralları uygulanır.
2. Ardından √n değeri yaklaşık olarak belirlenir.
3. √n sınırını aşmayan diğer asal sayılar, örneğin 7, 11 ve 13, sırayla denenir.
4. Bu asal sayıların hiçbiri n’yi bölmüyorsa n asaldır.

Örneğin 149 için 12² < 149 < 13² olduğundan yalnız 2, 3, 5, 7 ve 11 denenir. Hiçbiri 149’u bölmediği için 149 asaldır. Her bileşik sayının asal çarpanlarından en az biri karekök sınırını aşmaz; tüm asal çarpanlar bu sınırdan büyük olsaydı en küçük iki asal çarpanının çarpımı sayının kendisinden büyük olurdu. Bu nedenle karekök sınırının üzerindeki asal bölenleri ayrıca denemek gerekmez ve denenecek asal bölen sayısı azalır.

ARALARINDA ASAL SAYILAR

Ortak Bölenin Yalnız 1 Olması

1’den başka ortak pozitif böleni bulunmayan iki veya daha fazla tam sayıya aralarında asal denir. Sayıların ayrı ayrı asal olması gerekmez. Örneğin 8 ve 15 bileşik sayılardır; ancak ortak asal çarpanları olmadığı için aralarında asaldır.

• Ardışık iki tam sayı her zaman aralarında asaldır.
• 1, bütün tam sayılarla aralarında asaldır.
• İki farklı asal sayı aralarında asaldır.
• Ortak bir asal çarpan taşıyan sayılar aralarında asal değildir.

Aralarında asallık, bir kesrin sadeleşip sadeleşmeyeceğini ve bileşik bir bölünebilme koşulunun hangi parçalara ayrılacağını belirlemede kullanılır. Örneğin 4 ve 9 aralarında asal olduğundan hem 4’e hem 9’a bölünen bir sayı 36’ya da bölünür.

ASAL ÇARPANLARA AYIRMA

Ardışık Bölme ve Üslü Gösterim

1’den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı biçiminde ve çarpanların sırası dışında tek şekilde yazılabilir. Bu özellik aritmetiğin temel teoremi olarak bilinir. Asal çarpanlara ayırırken sayı en küçük asal böleninden başlanarak art arda bölünür.

Bölenler yan yana yazıldığında 756 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7 = 2² * 3³ * 7 elde edilir. Üslü gösterimde tabanlar farklı asal çarpanları, üsler ise bu çarpanların sayıda kaç kez bulunduğunu gösterir.

POZİTİF BÖLEN SAYISI

Üslere Bir Ekleyip Çarpma

N = p^a * q^b * r^c biçiminde asal çarpanlarına ayrılmış olsun. N’nin bir pozitif böleni oluşturulurken p’nin üssü 0’dan a’ya, q’nun üssü 0’dan b’ye ve r’nin üssü 0’dan c’ye kadar seçilebilir. Bağımsız seçimlerin sayısı çarpılır:

Pozitif bölen sayısı = (a + 1) * (b + 1) * (c + 1)

Örneğin 360 = 2³ * 3² * 5 olduğundan pozitif bölen sayısı (3 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 24 olur. Üssü yazılmayan 5’in üssü 1’dir.

NEGATİF, TAM VE ASAL OLMAYAN BÖLENLER

Bölen Türlerini Birbirinden Ayırma

Her pozitif bölenin bir de negatif karşılığı bulunduğundan negatif bölen sayısı pozitif bölen sayısına eşittir. Sıfır hiçbir sayının böleni değildir. Bu nedenle sıfırdan farklı bir doğal sayının tam sayı bölenlerinin toplam sayısı, pozitif bölen sayısının iki katıdır.

1 asal olmadığı için asal olmayan pozitif bölenler arasında sayılır. Örneğin 360’ın 24 pozitif böleni ve 2, 3, 5 olmak üzere üç asal pozitif böleni vardır; asal olmayan pozitif bölen sayısı 24 − 3 = 21 olur.

POZİTİF BÖLENLERİN TOPLAMI

Geometrik Toplamların Çarpımı

Asal çarpan gösterimi yalnız bölen sayısını değil, pozitif bölenlerin toplamını da verir. N = p^a * q^b için her asal çarpanın alabileceği kuvvetler ayrı ayrı toplanır ve sonuçlar çarpılır:

Pozitif bölenler toplamı = (1 + p + p² + … + p^a) * (1 + q + q² + … + q^b)

72 = 2³ * 3² için toplam (1 + 2 + 4 + 8) * (1 + 3 + 9) = 15 * 13 = 195 olur. Negatif bölenler de toplama katılırsa her pozitif bölen negatif karşılığıyla birbirini götürdüğü için toplam 0’dır.

BÖLEN SAYISINDAN SAYININ YAPISINA ULAŞMA

Çarpım Biçimlerini Üslere Dağıtma

Bölen sayısı verilerek sayının asal çarpan yapısı sorulduğunda, istenen bölen sayısı çarpanlarına ayrılır. Çünkü asal çarpan üslerinin bir fazlaları bu çarpanları oluşturur. Örneğin 12 pozitif bölen için dört temel yapı mümkündür:

Burada p, q ve r birbirinden farklı asal sayılardır. Örneğin p = 2, q = 3 ve r = 5 seçilirse 60 = 2² * 3 * 5 olur ve pozitif bölen sayısı (2 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1) = 12’dir. En küçük sayı istendiğinde büyük üs küçük asal sayıya verilmelidir. Böylece aynı bölen sayısına sahip adaylar arasında karşılaştırma yapılabilir.

TAM KARE SAYILARDA BÖLEN ÖZELLİĞİ

Tek Sayıda Pozitif Bölene Sahip Olma

Pozitif bölenler genellikle d ve Nd biçiminde çiftler oluşturur. N tam kare değilse her bölenin kendisinden farklı bir eşi vardır ve pozitif bölen sayısı çifttir. N tam kare olduğunda ise √N kendisiyle eşleşir; bu nedenle pozitif bölen sayısı tek olur.

Asal çarpan gösteriminde bir sayının tam kare olması için bütün üslerin çift olması gerekir. Örneğin 900 = 2² * 3² * 5² tam karedir ve 3 * 3 * 3 = 27 pozitif böleni vardır.