TYT ÜÇGENDE AÇIORTAY

TYT üçgende açıortay konu anlatımı; bir açıyı eş iki parçaya ayıran ışının temel özelliklerini, iç ve dış açıortay teoremlerini, alan oranlarını ve açıortay uzunluğu bağıntısını kapsar. Açıortay sorularında eş açı işaretini görmek tek başına yeterli değildir; bölünen kenar parçaları, komşu kenarlar ve dik uzaklıklar doğru eşleştirilmelidir.

AÇIORTAYIN TEMEL ÖZELLİKLERİ

Açıyı İki Eş Parçaya Ayırma

Bir açıyı ölçüleri eşit iki açıya ayıran ışına açıortay denir. ABC açısında BD açıortaysa ABD ve DBC açıları eşittir. Örneğin ABC açısı 70° ise her iki parça 35° olur. Bir üçgende köşeden karşı kenara uzanan iç açıortay, hem açıyı ikiye böler hem de karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı parçalara ayırır; ancak kenarortay gibi karşı kenarı her zaman iki eş parçaya bölmez.

Açıortay Üzerindeki Noktanın Kollara Uzaklığı

Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının iki koluna indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Uzaklık, noktadan doğruya çizilen dik doğru parçasıyla ölçülür; eğik parçalar bu özellikte kullanılamaz. P açıortay üzerinde, K ve L dikme ayaklarıysa PK=PL olur. OP ortak kenarı ve O köşesindeki eş açılar sayesinde oluşan dik üçgenler eş olduğundan, uygun şekillerde OK=OL gibi ek eşitlikler de elde edilebilir.

Eşit Uzaklıktan Açıortaya Geçiş

Özelliğin tersi de doğrudur: Bir açının iç bölgesindeki bir noktanın iki kola dik uzaklıkları eşitse o nokta açıortay üzerindedir. Böylece bazı sorularda eş açı işareti verilmeden, eş dikmelerden açıortay sonucu çıkarılır.

Açıortay aynı zamanda katlama eksenidir. Bir açı, açıortayı boyunca katlandığında kollar üst üste gelir. Bu nedenle katlama sorularında bir noktanın görüntüsüne giden eş uzaklıklar ve açı eşitlikleri birlikte kullanılabilir. Şekilde bir kat izi verilmişse, iz yalnız simetriyi sağladığı ölçüde açıortay kabul edilir; gelişigüzel bir doğruya açıortay özelliği yüklenmez.

İÇ AÇIORTAY TEOREMİ

Karşı Kenarı Komşu Kenarlar Oranında Bölme

ABC üçgeninde AD, A açısının iç açıortayı ve D noktası BC üzerindeyse BD/DC=AB/AC bağıntısı geçerlidir. Büyük komşu kenarın karşısında, BC üzerinde daha büyük parça bulunur. Örneğin AB/AC=2/3 ise BD/DC de 2/3’tür; BC=25 verildiğinde parçalar 10 ve 15 olur. Orantıda aynı taraftaki parçalar eşleştirilmeli, AB ile BD; AC ile DC aynı sırada tutulmalıdır.

Bu teorem alanla da açıklanabilir. ABD ve ACD üçgenlerinin A köşesinden BC’ye yükseklikleri ortak olduğundan alan oranları BD/DC’dir. Öte yandan iki üçgenin A köşesindeki açıları eşit olduğundan, iki kenar ve aradaki açıyla alan bağıntısı alan oranını AB/AC verir. Böylece iki oran birbirine eşitlenir.

Orandan Bilinmeyen Kenarı Bulma

Karşı kenardaki parça oranı verildiğinde komşu kenarlar da aynı oranı taşır. Oran sadeleştirildikten sonra bilinen kenar üzerinden ortak katsayı bulunur. Tersine, komşu kenarlar eşitse oran 1 olur ve karşı kenar iki eş parçaya ayrılır. Bu özel durumda aynı doğru hem açıortay hem kenarortaydır; ikizkenar üçgende ayrıca yükseklik ve orta dikme özelliklerini de taşır.

Açıortayın Oluşturduğu Alan Oranı

ABD ve ACD üçgenlerinin BC doğrusu üzerindeki yükseklikleri aynıdır. Bu nedenle alanları tabanlarıyla, yani BD ve DC ile orantılıdır. İç açıortay teoremiyle birlikte [ABD]/[ACD]=BD/DC=AB/AC yazılabilir. Toplam alan verilmişse önce oran paylarına bölünür; örneğin alan oranı 2/3 ve toplam alan 50 ise alanlar 20 ve 30’dur. Alan oranı ile kenar oranının aynı olması yalnız AD’nin açıortay olduğunun bilindiği bu düzende kullanılmalıdır.

İç Açıortay Uzunluğu

AD iç açıortayında AB=c, AC=b, BD=m ve DC=n ise açıortay uzunluğu için AD²=b·c-m·n bağıntısı kullanılabilir. Başka bir deyişle açıortayın karesi, açıya komşu kenarların çarpımından karşı kenarda oluşan parçaların çarpımının çıkarılmasıyla bulunur. Sonuç AD² olduğundan karekök alma adımı unutulmamalıdır. Bu formül uygulanmadan önce D’nin karşı kenar üzerinde olduğu, AD’nin gerçekten iç açıortay olduğu ve verilen parça uzunluklarının iç açıortay teoremiyle çelişmediği doğrulanır.

Oran, Çevre ve Açıortayı Birlikte Kullanma

İç açıortayın böldüğü parçalar verildiğinde önce komşu kenarların oranı bulunur. Çevre gibi ek bir toplam bilgisi varsa kenarlar ortak katsayıyla yazılarak ayrı ayrı belirlenebilir.

DIŞ AÇIORTAY

Dıştan Bölme Oranı

Bir köşedeki dış açının açıortayı karşı kenarın uzantısını, komşu kenarların oranında dıştan böler. A köşesindeki dış açıortay BC doğrusunu D noktasında kesiyorsa uygun yönlendirmeyle BD/CD=AB/AC yazılır. D, B yönündeki uzantıdaysa noktaların sırası D-B-C olur ve CD=BD+BC’dir; C yönündeki uzantıdaysa B-C-D olur ve BD=BC+CD’dir. Bu nedenle yalnız oranı kurmak yetmez, doğru üzerindeki toplam-fark ilişkisi de şekle göre seçilmelidir.

Dış açıortay bazen açıkça adlandırılmaz. Bir kenarın uzantısında oluşan iki dış açı eş işaretliyse ya da iç açıortaya dik bir doğru aynı köşeden geçiyorsa dış açıortay özelliği gizlenmiş olabilir. Ancak eş açı ya da diklik kanıtı bulunmadan yalnız uzantı çizildiği için dış açıortay teoremi kullanılamaz.

İç ve Dış Açıortay Arasındaki Açı

Aynı köşeye ait iç açı ile dış açı bütünlerdir. İç açı α ise komşu dış açı 180°-α’dır. Bu iki açının yarılarının toplamı α/2+(180°-α)/2=90° olduğundan iç açıortay ile dış açıortay birbirine diktir. Bu sonuç, şekilde diklik işareti verilmese bile iki doğrunun iç ve dış açıortay olduğu biliniyorsa doğrudan kullanılabilir.