TYT köklü sayılar konu anlatımı kapsamında kökün derecesi ve gerçek sayı koşulları, rasyonel üs ilişkisi, kök dışına çıkarma ve kök içine alma, köklü ifadelerde dört işlem, eşlenikle paydayı rasyonel yapma, iç içe kökler, köklü denklemler ve köklü eşitsizlikler işlenecektir.
TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Köklü Sayıların Temeli
Kökün Derecesi ve Gerçek Sayı Koşulu
n pozitif bir tam sayı olmak üzere xn = a eşitliğini sağlayan x sayısına a’nın n. dereceden kökü denir ve n√a biçiminde gösterilir. n = 2 olduğunda kökün derecesi yazılmaz; √a ifadesi karekökü belirtir. 3√a küpkök, 4√a ise dördüncü dereceden köktür.
Kök derecesi çift olduğunda kök içi gerçek sayılarda negatif olamaz. Bu nedenle √a ve 4√a ifadeleri için a ≥ 0 olmalıdır. Kök derecesi tek olduğunda kök içi negatif de olabilir: 3√(−8) = −2’dir. Ayrıca çift dereceli kökün sonucu negatif seçilmez; √25 = 5’tir, −5 değildir. x2 = 25 denkleminin iki kökü bulunması ile √25 sembolünün yalnız pozitif değeri göstermesi birbirinden farklı durumlardır.
Köklü İfadelerin Rasyonel Üs Biçimi
Köklü bir ifade rasyonel üs biçiminde yazılabilir. Üs kesri sadeleştirilmiş, payı tam sayı ve paydası pozitif tam sayı olmalıdır:
n√(am) = amn, a ≥ 0
Bu eşitlikte a = 0 ise üs pozitif olmalıdır; üs sıfır veya negatifse a > 0 gerekir. Kök derecesi kesrin paydasında, kök içindeki kuvvet payında yer alır. Örneğin a ≥ 0 için 3√(a2) = a23 yazılır.
Kök derecesi ile kök içindeki kuvvet, a ≥ 0 ve m, n, k pozitif tam sayılar iken aynı pozitif tam sayı k ile genişletilebilir: n√(am) = n*k√(am*k). Tersine, m ile n ortak bölen taşıyorsa aynı a ≥ 0 koşuluyla sadeleştirme yapılabilir. Çift dereceli kökte √(a2) = |a| olur; a negatif olabiliyorsa mutlak değer korunur.
Kök Dışına Çıkarma ve Kök İçine Alma
Tam Kuvvet Çarpanlarını Kök Dışına Çıkarma
Karekök içindeki sayı, tam kare çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir. √(a2b) = |a|√b’dir. Sorularda a’nın pozitif olduğu belirtilmişse mutlak değer yerine a yazılabilir. Örneğin √72 = √(36 * 2) = 6√2 olur. Amaç kök içinde tam kare çarpan bırakmamaktır.
Üçüncü dereceden kökte tam küp, dördüncü dereceden kökte tam dördüncü kuvvet aranır. 3√(54) = 3√(27 * 2) = 3 * 3√2’dir. Negatif sayı tek dereceli kökten işaretiyle çıkabilir; 3√(−125a3) = −5a olur. Çift dereceli kökte ise kök içinin negatif olması gerçek sayılarda mümkün değildir.
Katsayıyı Kök İçine Alma
Pozitif bir katsayı karekök içine alınırken karesi alınır: a√b = √(a2b), a ≥ 0. Benzer biçimde a3√b = 3√(a3b) olur. Kök içine alma, farklı biçimde yazılmış ifadeleri karşılaştırmada ve sıralamada kullanışlıdır.
Katsayı negatifse eksi işareti çift dereceli kökün içine alınmaz; −3√2 = −√18 biçiminde yazılır. Tek dereceli kökte negatif katsayı işaretiyle birlikte kökün içine taşınabilir. İşaretin korunması, özellikle eşitlik ve sıralama sorularında zorunludur.
Köklü Sayılarda Dört İşlem
| İşlem | Temel kural | Kontrol |
|---|---|---|
| Çarpma | √a * √b = √(ab) | Gerçek sayı koşulları sağlanmalı |
| Bölme | √a : √b = √(a : b) | b > 0 olmalı |
| Toplama–çıkarma | a√m ± b√m = (a ± b)√m | Kök derecesi ve kök içi aynı olmalı |
| Kuvvet | (√a)2 = a | √(a2) = |a| ile karıştırılmamalı |
Çarpma, Bölme ve Kök Derecesini Eşitleme
Aynı dereceli kökler çarpılırken veya bölünürken tek kök altında birleştirilebilir. İşlem sonrasında tam kuvvet çarpanlar varsa kök dışına çıkarılır. √12 * √6 = √72 = 6√2 örneğinde olduğu gibi, yalnız birleştirmek yeterli değildir; sonuç en sade biçime getirilmelidir.
Kök dereceleri farklıysa ortak dereceye geçmeden önce kök içlerinin işaret koşulları belirlenir. Örneğin, a ≥ 0 için √a = 6√(a3); b ≥ 0 için 3√b = 6√(b2), b < 0 için 3√b = −6√(b2) olur. Örneğin 3√(−8) = −6√64 = −2; negatif işaret derece eşitleme boyunca dışarıda korunur.
Benzer Köklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma
Toplama ve çıkarma yalnız kök derecesi ile kök içi aynı olan terimler arasında yapılır. 3√2 + 5√2 = 8√2’dir; fakat √2 + √3, √5 değildir ve daha fazla sadeleşmez. Terimler ilk bakışta benzer görünmüyorsa önce kök dışına çıkarma yapılmalıdır.
Bu işlem cebirsel benzer terim mantığıyla aynıdır. √m ortak çarpan kabul edilir. a√m − b√m = (a − b)√m olur. Bir ifade sadeleştirildiğinde kök içleri aynı hâle gelebilir; bu nedenle toplama veya çıkarma kararından önce her kök en sade biçime getirilmelidir.
Eşlenik ve İç İçe Kökler
Paydayı Rasyonel Yapma ve Eşlenik
Paydada tek bir köklü çarpan varsa pay ve payda uygun kökle çarpılır. Örneğin 1√3 ifadesi √3 ile genişletildiğinde √33 olur. Payda a + √b veya √a − √b biçimindeyse eşlenik kullanılır.
a + √b ifadesinin eşleniği a − √b’dir. Bu iki ifade çarpıldığında iki kare farkı oluşur: (a + √b)(a − √b) = a2 − b. Benzer şekilde √a + √b ile √a − √b eşleniktir. Eşlenikle genişletmede payın da aynı ifadeyle çarpılması gerekir.
İç İçe Kökleri Sadeleştirme
√(a ± 2√b) biçimindeki ifadeler uygun olduğunda √m ± √n biçimine ayrılabilir. Bunun için m + n = a ve m * n = b koşulları aranır:
√(m + n + 2√(mn)) = √m + √n
Eksi işaretli durumda büyük kökten küçük kök çıkarılır; sonuç negatif olmayacağı için sıra önemlidir. Örneğin √(7 − 4√3) = 2 − √3’tür. Çünkü (2 − √3)2 = 4 + 3 − 4√3 = 7 − 4√3 ve 2 − √3 pozitiftir.
İç içe köklerde yalnız ezberlenmiş kalıba bakmak yerine bulunan ifadenin karesini alarak doğrulama yapmak güvenlidir. Daha derin iç içe kökler rasyonel üs biçimine çevrildiğinde dereceler çarpılarak sadeleştirilebilir.
Köklü Denklemler ve Eşitsizlikler
Köklü Denklemlerde Tanım ve Kök Kontrolü
Köklü denklem çözülürken önce çift dereceli köklerin tanım koşulları yazılır. Ardından bir köklü ifade yalnız bırakılır ve uygun kuvvet alınır. İki tarafın karesini almak denklemi genişletebilir; başlangıç denklemini sağlamayan yabancı kökler oluşabilir. Bu nedenle bulunan her değer mutlaka ilk denklemde kontrol edilmelidir.
Birden fazla kök varsa ilk kare alma işleminden sonra kalan kök yalnız bırakılır ve gerekirse yeniden kare alınır. İşlem sırası düzenli tutulmazsa çapraz terim olan 2√(ab) gözden kaçabilir. Tek dereceli köklerde tanım alanı bütün gerçek sayılar olsa da cebirsel dönüşümlerin denkliğini koruması gerekir.
Köklü Eşitsizlikler ve Sıralama
Karekök fonksiyonu [0, ∞) aralığında artandır. Bu nedenle a, b ≥ 0 iken √a < √b ile a < b denktir. Farklı dereceli köklü sayılar ortak kök derecesine genişletilerek veya uygun pozitif kuvvetleri alınarak karşılaştırılabilir. Yaklaşık değer de kullanılabilir; örneğin 4 < 5 < 9 olduğundan 2 < √5 < 3’tür.
Köklü eşitsizlikte iki tarafın karesini almak için tarafların işaretleri bilinmelidir. Sol taraf karekök olduğundan negatif değildir. Sağ taraf negatifse eşitsizlik bazı durumlarda doğrudan sağlanır; sağ taraf sıfır veya pozitifse kare alma güvenli hâle gelir. Bu ayrım yapılmadan karesini almak çözüm kümesinin bir bölümünü kaybettirebilir veya fazladan değer ekleyebilir.
Sonraki konu: Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler