TYT Basit Eşitsizlikler ve Gerçek Sayı Aralıkları konu anlatımı kapsamında eşitsizlik sembolleri, çözüm kümelerinin sayı doğrusunda ve aralıklarla gösterimi, işlem kuralları, çift taraflı eşitsizlikler, aralıkların kesişimi ve birleşimi, tam sayı sayımı ve eşitsizlikle modellenen problemler işlenecektir.
TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Eşitsizlik ve Gerçek Sayı Aralıkları
Eşitsizlik Sembolleri ve Çözüm Kümesi
a < b ifadesi a’nın b’den küçük, a > b ifadesi büyük olduğunu belirtir. ≤ ve ≥ sembolleri sınır değerinin çözüme dâhil olduğunu gösterir. Bir eşitsizliği doğru yapan bütün gerçek sayılar onun çözüm kümesidir.
Sayı doğrusunda küçük sayılar solda, büyük sayılar sağdadır. x > 2 için 2 açık noktayla gösterilir ve tarama sağa uzanır. x ≤ 2 için 2 kapalı noktadır ve tarama sola uzanır.
Aralık Gösterimi ve Açık–Kapalı Uçlar
Sınır değeri çözüme dâhilse köşeli parantez, dâhil değilse normal parantez kullanılır. a < x ≤ b eşitsizliği (a, b] biçimindedir. Sonsuzluk bir sayı olmadığı ve hiçbir zaman uç değer olarak alınamadığı için ±∞ yanında daima normal parantez bulunur.
“Ve” bağlacı aynı anda sağlanan koşulların kesişimini, “veya” bağlacı koşullardan en az birini sağlayan değerlerin birleşimini anlatır.
Basit Eşitsizliklerde İşlemler
Toplama, Çıkarma ve Pozitif Sayıyla İşlem
Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı gerçek sayı eklenir veya iki taraftan aynı sayı çıkarılırsa yön değişmez. İki taraf aynı pozitif sayıyla çarpılır ya da bölünürse de eşitsizlik yönünü korur.
Denklemlerde olduğu gibi bilinmeyenli terimler bir tarafta, sabitler diğer tarafta toplanabilir. İşlemler tamamlandığında bulunan küme sayı doğrusunda veya aralık biçiminde yazılmalıdır.
Negatif Sayıyla Çarpma ve Bölme
Eşitsizliğin iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse yön ters döner. Bunun nedeni sayı doğrusunun negatif çarpanla yön değiştirmesidir. Örneğin 2 < 5 iken her iki taraf −1 ile çarpıldığında −2 > −5 olur.
Bilinmeyenin katsayısı negatifse son adımda yön değişikliği unutulmamalıdır. Ancak işareti bilinmeyen bir ifadeyle çarpma veya bölme doğrudan yapılamaz; ifadenin pozitif, negatif ya da sıfır olma durumları ayrı değerlendirilir.
Kesirli Eşitsizlikler
Paydalar sabit ve pozitifse ortak paydayla çarpılarak kesirler kaldırılabilir. Sabit payda negatifse çarpma sırasında yön değiştirilir. Paydada bilinmeyen varsa işaret analizi yapılmadan payda ile çarpma yapılamaz.
Kesirli eşitsizliğin sonucunda sınırın çözüme dâhil olup olmadığı özgün sembole göre belirlenir. Sık yapılan hata, pozitif ortak payda kullanıldığı hâlde yönü gereksiz yere değiştirmektir.
Çift Taraflı Eşitsizlikler
Üç Tarafa Aynı İşlemi Uygulama
a < bx + c ≤ d biçimindeki eşitsizlikte yapılan işlem üç parçaya birden uygulanır. Negatif sayıyla çarpma veya bölmede iki eşitsizlik işareti de yön değiştirir; ardından küçük sınır solda olacak biçimde ifade düzenlenir.
Aralıklarda Kesişim ve Birleşim
Kesişim
İki aralığın kesişimi, her ikisinde ortak bulunan değerlerden oluşur. Sayı doğrularındaki taralı bölgelerin üst üste geldiği kısım alınır. Ortak bölge yoksa sonuç boş kümedir.
Birleşim
Birleşim, aralıklardan en az birinde bulunan bütün değerleri kapsar. Aralıklar örtüşüyor veya uç uca değerek ortak bir sınır taşıyorsa tek aralık hâlinde yazılabilir. Aralarında boşluk varsa iki aralık ∪ ile ayrı gösterilir.
Tam Sayı Sınırları ve Problemler
En Büyük–En Küçük Tam Sayı
Çözüm aralığındaki en büyük veya en küçük tam sayı aranırken uçların açık ya da kapalı olması kontrol edilir. Açık uç tam sayıysa o değer alınamaz; hemen içteki tam sayıya geçilir. Bir aralıktaki tam sayıları saymanın güvenli yolu önce ilk ve son geçerli tam sayıyı belirlemektir.
Eşitsizlikle Model Kurma
“En az” ifadesi ≥, “en çok” ifadesi ≤ ile modellenir. Bir miktarın belirli sınırı aşması >, altında kalması < sembolünü gerektirir. Sonuç kişi, kutu veya ay sayısıysa tam sayı koşulu ayrıca uygulanır.