AYT paralelkenar konu anlatımı kapsamında karşılıklı kenar ve açı özellikleri, köşegenlerin orta noktası, açıortay ilişkileri ve alan paylaşımı işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
PARALELKENARIN TANIMI VE TEMEL ÖZELLİKLERİ
KARŞILIKLI KENARLAR, AÇILAR VE ÇEVRE
Karşılıklı kenarlarının iki çifti de paralel olan dörtgene paralelkenar denir. ABCD paralelkenarında AB∥CD ve AD∥BC’dir. Paralellik ve eş üçgenlerden şu sonuçlar elde edilir:
AB=CD ve AD=BC
A=C, B=D
∠A+∠B=180°
Çevre=2(AB+BC)
Örnek - 1
ABCD paralelkenarında ∠A=4x+8° ve ∠B=6x+22°’dir. Paralelkenarın büyük iç açısı kaç derecedir?
A) 112
B) 108
C) 105
D) 102
E) 98
Komşu açılar bütünlerdir. 4x+8+6x+22=180 eşitliğinden 10x=150 ve x=15 bulunur. ∠A=68°, ∠B=112° olduğundan büyük iç açı 112°’dir.
AÇIORTAYIN KARŞI KENARI BÖLMESİ
A köşesinden çizilen iç açıortay DC kenarını E’de keserse, AB∥DC paralelliği nedeniyle DAE ve AED açıları eşit olur. Böylece ADE üçgeni ikizkenardır ve DE=AD elde edilir. Uzun kenar AB ise kalan parça EC=AB−AD olur.
Örnek - 2
ABCD paralelkenarında AB=17, AD=7 ve ∠A=60°’dir. A açısının açıortayı DC’yi E noktasında kestiğine göre AE+EC kaç birimdir?
A) 7+5√3
B) 10+7√3
C) 14+3√3
D) 17+5√3
E) 20+3√3
Açıortay özelliğinden DE=AD=7 ve DC=AB=17 olduğundan EC=10’dur. DAE açısı 30°; D açısı 120°’dir. AD=DE=7 olan ADE üçgeninde kosinüs teoremiyle AE²=7²+7²−2·7·7·cos120°=147, dolayısıyla AE=7√3 bulunur. Toplam 10+7√3’tür.
Cevap: B
PARALELKENAR OLMA KOŞULLARI
Bir dörtgenin paralelkenar olduğunu göstermek için aşağıdaki koşullardan herhangi biri yeterlidir: iki çift karşılıklı kenarın paralel olması; iki çift karşılıklı kenarın eş olması; bir çift karşılıklı kenarın hem paralel hem eş olması; köşegenlerin birbirini ortalaması veya karşılıklı açıların eş olması.
Örnek - 3
Bir ABCD dörtgeni için I. AB=CD ve AD=BC, II. AB∥CD ve AB=CD, III. köşegenler birbirini ortalar bilgileri veriliyor. Bu bilgilerden hangileri tek başına ABCD’nin paralelkenar olduğunu kanıtlar?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I, II ve III
D) I ve III
E) II ve III
I, iki çift karşılıklı kenarın eşliği; II, bir çift karşılıklı kenarın hem paralel hem eş olması; III ise köşegenlerin birbirini ortalaması koşuludur. Üçü de paralelkenar için ayrı ayrı yeterli ölçüttür.
Cevap: C
MERKEZÎ SİMETRİ VE KOORDİNAT YORUMU
Köşegenlerin kesişim noktası O, paralelkenarın 180° dönme merkezidir. A ile C, B ile D bu dönüşümde eşleşir. Koordinat düzleminde ∠A+∠C=∠B+∠D vektör eşitliği ve O=(∠A+∠C)/2=(∠B+∠D)/2 bağıntıları birlikte kullanılır.
Örnek - 4
Koordinat düzleminde A(0,0), B(6,0) ve D(2,4) noktaları ABCD paralelkenarının üç köşesidir. Köşegenlerin kesişim noktası O olduğuna göre OC+OD kaç birimdir?
A) √5+√2
B) 2√10
C) √20+√8
D) 2(√5+√2)
E) 4√7
C=B+D−A=(8,4) ve O=(4,2)’dir. OC=√[(8−4)²+(4−2)²]=2√5; OD=√[(2−4)²+(4−2)²]=2√2 olur. Toplam 2(√5+√2)’dir.
Cevap: D
Örnek - 5
A(1,2) noktasından başlayan bir paralelkenarda AB=(7,−1) ve AD=(−2,5) vektörleridir. Köşegenlerin kesişim noktası O olduğuna göre 4·AO² kaçtır?
A) 32
B) 35
C) 37
D) 39
E) 41
AC=AB+AD=(5,4) vektörüdür ve AC²=25+16=41’dir. O köşegeni ortaladığı için AO²=AC²/4=41/4 olur. Dolayısıyla 4·AO²=41’dir.
Cevap: E
KÖŞEGENLER VE UZUNLUK BAĞINTILARI
KÖŞEGENLERİN BİRBİRİNİ ORTALAMASI
AC ve BD köşegenleri O noktasında kesişiyorsa AO=OC ve BO=OD’dir. Bu özellik hem uzunluk oranlarında hem de alan sorularında temel başlangıçtır. Köşegenler paralelkenarı dört eş alanlı üçgene ayırır.
Örnek - 6
ABCD paralelkenarında DC=15, AC=24 ve BD=18’dir. Paralelkenarın çevresi kaç birimdir?
A) 60
B) 56
C) 54
D) 52
E) 48
Paralelkenar kanununa göre 24²+18²=2(15²+b²). Sol taraf 900 olduğundan 450=225+b² ve b=15 bulunur. İki komşu kenar da 15 olduğuna göre çevre 4·15=60 birimdir.
Cevap: A
PARALELKENAR KANUNU
Kenar uzunlukları a ve b, köşegenler e ve f ise
e²+f²=2(a²+b²)
bağıntısı geçerlidir. Bu eşitlik, bir köşegeni veya bir kenarı bulmanın yanı sıra özel dörtgen koşullarını sınamak için de kullanılır.
Örnek - 7
Kenarları 7 ve 11 birim olan bir paralelkenarın köşegenlerinden biri 12 birimdir. Diğer köşegenle verilen köşegenin uzunlukları toplamı kaçtır?
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
12²+d²=2(7²+11²)=340 eşitliğinden d²=196 ve d=14’tür. Köşegenlerin toplamı 12+14=26 birim olur.
Cevap: B
KÖŞEGEN PARÇALARI VE KESİŞİM AÇISI
O noktasında oluşan AOB üçgeninin iki kenarı yarım köşegenlerdir. Birbirine komşu iki kenar, O’daki bütünler açılar kullanılarak kosinüs teoremiyle ayrı ayrı bulunabilir.
Örnek - 8
ABCD paralelkenarında köşegenler O’da kesişmektedir. AO=5, BO=7 ve AOB=120° olduğuna göre paralelkenarın çevresi kaç birimdir?
A) 2(√74+√39)
B) 2(√109+√74)
C) 2(√109+√39)
D) √109+√39
E) 4√37
AOB üçgeninde AB²=5²+7²−2·5·7·cos120°=109’dur. BOC açısı 60° olduğundan BC²=5²+7²−2·5·7·cos60°=39 bulunur. Çevre 2(AB+BC)=2(√109+√39)’dur.
Cevap: C
ORTA NOKTA, KESEN VE DIŞ DOĞRU UZAKLIĞI
Üçgenlerdeki kenarortay ve alan oranları, paralelkenarın bir köşegeniyle birlikte güçlü oranlar verir. Ayrıca herhangi bir doğruya göre yönlü uzaklıklar için d(A)+d(C)=d(B)+d(D) bağıntısı, karşılıklı köşelerin orta noktasının aynı olmasından kaynaklanır.
Örnek - 9
ABCD paralelkenarında E, AB’nin orta noktasıdır. DE doğrusu AC köşegenini K’de kesiyor. AC=18 ve DK=10 olduğuna göre AK+KE kaç birimdir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
ADC üçgeninde B doğrultusu kullanılarak ya da vektörle K’nin AC’yi AK:KC=1:2 oranında böldüğü görülür; AK=18/3=6’dır. Aynı kesişimde DK:KE=2:1 olduğundan KE=5’tir. Toplam 11 birimdir.
Cevap: D
Örnek - 10
ABCD paralelkenarının tamamı bir l doğrusunun aynı tarafındadır. A, B ve C köşelerinin l doğrusuna uzaklıkları sırasıyla 4, 7 ve 12 birimdir. D köşesinin l doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Doğruya yönlü uzaklık doğrusal bir fonksiyondur. A+C=B+D vektör eşitliği uzaklıklara d(A)+d(C)=d(B)+d(D) olarak yansır. 4+12=7+d(D) ve d(D)=9 bulunur.
Cevap: E
Dikkat
Paralelkenarda köşegenler birbirini mutlaka ortalar; fakat genel durumda eşit veya dik olmak zorunda değildir. Eş köşegen dikdörtgene, dik köşegen eşkenar dörtgene götüren ek koşullardır.
PARALELKENARDA AÇIORTAYLAR
KARŞI KENARDAKİ PARÇALAR
AB>AD iken A ve B açıortayları DC üzerinde E ve F noktalarını oluşturursa DE=CF=AD’dir. Böylece EF=AB−2AD olur; işaret, açıortayların kesişip kesişmediğini de belirler.
Örnek - 11
ABCD paralelkenarında AB=18, AD=10’dur. A ve B iç açıortayları DC’yi sırasıyla E ve F noktalarında kesiyor. EF kaç birimdir?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
DE=CF=AD=10’dur. DC=AB=18 olduğundan D’den ölçüldüğünde E 10. birimde, F ise 18−10=8. birimdedir. İki nokta arasındaki uzaklık |10−8|=2 birimdir.
Cevap: A
KOMŞU AÇIORTAYLARIN DİKLİĞİ
Komşu iç açılar bütünler olduğundan yarımlarının toplamı 90°’dir. Bu nedenle komşu iki iç açıortay daima dik kesişir. Böylece açıortay parçaları ve ilgili kenar, çoğu soruda dik üçgen kurar.
Örnek - 12
ABCD paralelkenarında A ve B iç açıortayları P’de kesişiyor. AP=9, BP=12 ve paralelkenarın AB tabanına ait yüksekliği 8 birimdir. Paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?
A) 108
B) 120
C) 126
D) 132
E) 144
AP⊥BP olduğundan APB dik üçgenidir. AB=√(9²+12²)=15 bulunur. Alan=taban·yükseklik=15·8=120 birimkaredir.
Cevap: B
KARŞILIKLI AÇIORTAYLAR VE EŞKENAR DÖRTGEN KOŞULU
Karşılıklı açıların iç açıortayları paraleldir. Bu iki doğru ancak paralelkenarın komşu kenarları eşitse aynı doğru üzerinde çakışır; bu da paralelkenarın eşkenar dörtgen olması demektir.
Örnek - 13
Bir paralelkenarda karşılıklı iki iç açıortay aynı doğru üzerinde çakışmaktadır. Paralelkenarın çevresi 56 birim ve bir iç açısı 60° olduğuna göre alanı kaç birimkaredir?
A) 84√3
B) 90√3
C) 98√3
D) 112√3
E) 196
Karşılıklı açıortayların çakışması komşu kenarların eşliğini verir; şekil eşkenar dörtgendir. Bir kenar 56/4=14’tür. Alan=14²·sin60°=196·√3/2=98√3 birimkaredir.
Cevap: C
KENAR UZANTISINDA AÇIORTAY
A açıortayı, A’ya komşu olmayan BC doğrusu üzerinde veya uzantısında bir E noktası oluşturabilir. AB>AD ise E, çoğu yönelimde C’nin ötesindedir ve BE=AB eşitliği kullanılır.
Örnek - 14
ABCD paralelkenarında AB=16, AD=6’dır. A iç açıortayı BC doğrusunun C ötesindeki uzantısını E’de kesiyor. CE kaç birimdir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
AB∥DC ve AD∥BE olduğundan BAE ile AEB açıları eşittir; ABE üçgeninde AB=BE=16 olur. BC=AD=6 olduğundan CE=BE−BC=16−6=10 birimdir.
Cevap: D
Örnek - 15
ABCD paralelkenarında AB=18, AD=8 ve ∠A=120°’dir. A açıortayı DC’yi E’de, D açıortayı AB’yi F’de kesiyor. ADEF dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 16√3
B) 24√3
C) 28√3
D) 30√3
E) 32√3
Açıortay özelliklerinden DE=AD=8 ve AF=AD=8’dir. Ayrıca EF∥AD ve AE∥DF olduğundan ADEF, kenarı 8 olan bir eşkenar dörtgendir. A ile D doğrultuları arasındaki dar açı 60° olduğundan alan 8²·sin60°=32√3’tür.
Cevap: E
PARALELKENARDA ALAN
TABAN, YÜKSEKLİK VE SİNÜS BAĞINTISI
Bir kenar taban seçildiğinde, karşı kenarın doğrusuna olan dik uzaklık o tabana ait yüksekliktir. Alan taban·yüksekliktir. Komşu kenarlar a ve b, aralarındaki açı α ise yükseklik b·sinα olduğundan alan a·b·sinα olur.
Örnek - 16
ABCD paralelkenarında AB=20, AD=13 ve AC=21’dir. Paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?
A) 252
B) 240
C) 234
D) 224
E) 210
ADC üçgeninin kenarları 13, 20 ve 21’dir. Yarı çevre 27 olduğundan Heron bağıntısıyla üçgen alanı √(27·14·7·6)=126’dır. Köşegen paralelkenarı iki eş alanlı üçgene böler; toplam alan 252 birimkaredir.
Cevap: A
KÖŞEGENLER VE ARALARINDAKİ AÇIYLA ALAN
Köşegen uzunlukları e ve f, aralarındaki dar veya geniş açı θ ise Alan=e·f·sinθ/2 bağıntısı kullanılır. Sinüs bütünler açılarda aynı olduğu için kesişimdeki iki açıdan herhangi biri seçilebilir.
Örnek - 17
Bir paralelkenarın köşegenleri 20 ve 12 birim, köşegenler arasındaki dar açı 30°’dir. Kenar uzunluklarının kareleri toplamı ile paralelkenarın alanının toplamı kaçtır?
A) 316
B) 332
C) 340
D) 348
E) 360
Paralelkenar kanunundan kenar kareleri toplamı (20²+12²)/2=272’dir. Alan=20·12·sin30°/2=60 olduğundan istenen toplam 332’dir.
Cevap: B
İÇ NOKTADA KARŞILIKLI ALAN TOPLAMLARI
Paralelkenarın içindeki P noktası köşelere birleştirildiğinde karşılıklı iki üçgenin alanları toplamı paralelkenarın yarısına eşittir: S(PAB)+S(PCD)=S(PBC)+S(PDA).
Örnek - 18
ABCD paralelkenarında iç P noktası için PAB, PBC ve PCD üçgenlerinin alanları sırasıyla 32, 25 ve 18 birimkaredir. Paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?
A) 90
B) 96
C) 100
D) 104
E) 110
Karşılıklı üst ve alt üçgenlerin toplamı paralelkenarın yarısıdır: 32+18=50. Toplam alan 100 birimkaredir; ayrıca sol alan 50−25=25 olur.
Cevap: C
KÖŞEGEN ÜZERİNDE NOKTA VE İÇ PARALELLER
E noktası BD köşegeni üzerindeyse A ve C’nin BD’ye uzaklıkları eşit olduğundan ortak tabanlı ABE ile CBE; ADE ile CDE üçgenleri eş alanlıdır. Kenar ailelerine paralel iki iç doğru dört küçük paralelkenar oluşturursa karşılıklı alanların çarpımları eşittir.
Örnek - 19
ABCD paralelkenarında E, BD köşegeni üzerindedir. ABE üçgeninin alanı 18, ADE üçgeninin alanı 12 birimkaredir. Paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?
A) 48
B) 52
C) 56
D) 60
E) 64
CBE alanı 18, CDE alanı 12’dir. Toplam 18+18+12+12=60 birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 20
Bir paralelkenar, kenar ailelerine paralel iki doğruyla dört küçük paralelkenara ayrılıyor. Sol üst, sağ üst ve sol alt alanlar sırasıyla 6, 9 ve 12 birimkaredir. Büyük paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?
A) 39
B) 40
C) 42
D) 44
E) 45
6x=9·12 olduğundan x=18’dir. Büyük alan 6+9+12+18=45 birimkaredir.
Cevap: E
ALAN PAYLAŞIMLARI VE PARALEL KESİTLER
KÖŞEGENLER VE VARIGNON PARALELKENARI
İki köşegen paralelkenarı dört eş alanlı üçgene ayırır. Dört kenarın orta noktaları birleştirildiğinde oluşan Varignon paralelkenarının alanı dış şeklin yarısı; kenarları ise dış köşegenlerin yarısıdır.
Örnek - 21
Alanı 196 birimkare olan bir paralelkenarın kenar orta noktaları birleştirilerek iç paralelkenar, sonra bu iç paralelkenarın bir köşegeni çiziliyor. Köşegenin ayırdığı küçük üçgenlerden birinin alanı kaçtır?
A) 49
B) 42
C) 36
D) 28
E) 24
İç paralelkenarın alanı 196/2=98’dir. Onun köşegeni alanı ikiye böler; küçük üçgenin alanı 49 birimkaredir.
Cevap: A
EŞ ORANLI NOKTALARLA PARALEL KESİT
Karşılıklı iki kenar aynı oranda bölünüp bu noktalar birleştirilirse kesit diğer kenar ailesine paralel olur. Ortaya çıkan paralelkenarların yükseklikleri ortak olduğundan alan oranı taban oranına eşittir.
Örnek - 22
ABCD paralelkenarında AE:EB=DF:FC=1:2 ve EF∥AD’dir. ADFE bölgesinin alanı 40 birimkare olduğuna göre EBCF bölgesinin alanı ile ABCD’nin alanının toplamı kaçtır?
A) 180
B) 200
C) 220
D) 240
E) 260
İki bölgenin alanları 1:2 oranındadır. Sol alan 40 ise sağ alan 80, bütün alan 120’dir. İstenen toplam 80+120=200’dür.
Cevap: B
İÇ NOKTA VE YARIM ALAN
Örnek - 23
ABCD paralelkenarında iç P noktası için Alan(PAB)=24, Alan(PCD)=36 ve Alan(PBC)=41 birimkaredir. Alan(PDA) ile ABCD alanının dörtte birinin toplamı kaçtır?
A) 43
B) 46
C) 49
D) 52
E) 55
24+36=41+Alan(PDA) olduğundan Alan(PDA)=19’dur. Paralelkenarın yarısı 60, bütünü 120 ve dörtte biri 30’dur. İstenen toplam 49’dur.
Cevap: C
ORTA NOKTALAR VE KENAR ÜZERİNDE NOKTA
Kenar orta noktalarının oluşturduğu iç paralelkenar dış alanın yarısıdır. Ayrıca E, AB üzerinde herhangi bir nokta ise DCE üçgeni DC tabanını ve paralelkenarın yüksekliğini kullandığından dış alanın yarısına sahiptir.
Örnek - 24
ABCD paralelkenarının kenar orta noktaları E, F, G ve H birleştiriliyor. EFGH paralelkenarının alanı 54 birimkare olduğuna göre ABCD’nin alanı kaçtır?
A) 81
B) 90
C) 96
D) 108
E) 112
Varignon paralelkenarı dış dörtgenin yarısıdır. Alan(ABCD)=2·54=108 birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 25
ABCD paralelkenarında E, AB kenarı üzerinde herhangi bir noktadır. DCE üçgeninin alanı 56 birimkaredir. Kenar orta noktalarının oluşturduğu iç paralelkenarın alanı ile ABCD alanının toplamı kaçtır?
A) 140
B) 148
C) 154
D) 160
E) 168
DCE üçgeni ABCD’nin yarısı olduğundan dış alan 112’dir. İç Varignon paralelkenarı da dış alanın yarısı, yani 56’dır. Toplam 168’dir.
Cevap: E
AYT DÜZEYİ KESME, KATLAMA VE MODELLEME
PARALEL KESME VE ALAN KORUNUMU
Tabanlara paralel bir kesim, paralelkenarı aynı taban uzunluğuna sahip iki paralelkenara ayırır; alan oranı yükseklik oranına eşittir. Parçaların döndürülmesi veya taşınması alanı değiştirmez.
Örnek - 26
Alanı 250 birimkare olan ABCD paralelkenar biçimli kâğıt, AB’ye paralel EF doğrusu boyunca kesiliyor. AE:ED=2:3 olduğuna göre iki parçanın alanları farkı kaçtır?
A) 50
B) 60
C) 75
D) 90
E) 100
Alanlar 2:3 oranındadır: 100 ve 150. Fark 50 birimkaredir.
Cevap: A
Örnek - 27
Alanları 84 birimkare olan iki eş paralelkenar saydam levha üst üste getiriliyor. Ortak bölgenin alanı bir levhanın alanının dörtte biri olduğuna göre birleşim alanının ortak alana oranı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Ortak alan 84/4=21’dir. Birleşim alanı 147 olduğundan oran 147/21=7’dir.
Cevap: B
KOORDİNAT VE VEKTÖR MODELİ
Koordinat sorularında paralelkenar önce A+C=B+D eşitliğiyle tamamlanır; bölüm formülü ve determinantla uzunluk veya alan bulunur.
Örnek - 28
A(0,0), B(12,0), C(17,8), D(5,8) köşeli ABCD paralelkenarında E, AB’yi AE:EB=1:3 oranında bölüyor; F, DC’nin orta noktasıdır. AEF üçgeninin alanı kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
AE=3 ve F’nin AB’ye uzaklığı 8’dir. Alan=3·8/2=12 birimkaredir.
Cevap: C
ÖRTÜŞME VE DÖŞEME PROBLEMLERİ
Saydam levhalarda birleşim=toplam−kesişim; özdeş karo döşemelerinde ise iç ortak kenarlar çevreye katılmadan yalnız dış sınır izlenir.
Örnek - 29
Alanları 96 birimkare olan iki eş paralelkenar panelin birleşim alanı 150 birimkaredir. Panellerin ortak olmayan kısımlarının alanları toplamı kaçtır?
A) 84
B) 90
C) 96
D) 108
E) 112
Ortak alan 96+96−150=42’dir. Her panelin ortak olmayan kısmı 96−42=54 olduğundan toplam 108’dir.
Cevap: D
Örnek - 30
Kenar uzunlukları 4 ve 7 birim olan altı özdeş paralelkenar karo, üç sütun ve iki sıra hâlinde dizilerek büyük bir paralelkenar oluşturuyor. Büyük paralelkenarın çevresi kaç birimdir?
A) 42
B) 44
C) 48
D) 50
E) 52
Büyük şeklin yatay kenarı 3·4=12, eğik kenarı 2·7=14’tür. Çevre 2(12+14)=52 birimdir.
Cevap: E
Paralel kenarların oluşturduğu açı ilişkileri, köşegenlerin ortak orta noktası ve taban–yükseklik alan bağıntısı paralelkenar sorularının temel yapısını oluşturur.
