AYT dörtgenler ve genel özellikleri konu anlatımı kapsamında dörtgenlerde açılar, köşegenler, orta noktalar, Varignon paralelkenarı ve alan ilişkileri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
DÖRTGENİN TANIMI VE TEMEL ELEMANLARI
DIŞBÜKEY VE İÇBÜKEY DÖRTGEN
Aynı düzlemde bulunan ve herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın sırayla birleştirilmesiyle oluşan basit kapalı şekle dörtgen denir. ABCD dörtgeninde AB, BC, CD ve DA kenar; A, B, C ve D köşe; AC ve BD ise köşegendir. Çevre, dört kenar uzunluğunun toplamıdır.
Dörtgenin içindeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası tamamen iç bölgede kalıyorsa dörtgen dışbükeydir. Bir iç açısı 180°’den büyükse dörtgen içbükeydir. Standart açı ve alan bağıntılarında içbükey durum ayrıca kontrol edilmelidir.
DÖRTGEN OLUŞMA KOŞULU
Dört pozitif uzunluğun bir dörtgen oluşturabilmesi için en uzun kenar, diğer üç kenarın toplamından küçük olmalıdır. Eşitlik sınır durumunda şekil doğrusal hâle gelir ve alanı sıfır olur. Bu koşul, seçenekli tam sayı sorularında hem alt hem üst sınırı denetlemeyi gerektirir.
TEMEL AÇI TOPLAMLARI
Bir köşegenle iki üçgene ayrılan dörtgenin iç açıları toplamı 360°’dir. Her köşeden aynı yönde alınan birer dış açının toplamı da bir tam dönüşe, yani 360°’ye eşittir.
Örnek - 1
ABCD dörtgeninde ∠B=∠A+20°, ∠C=2A−10° ve ∠D=∠C+30°’dir. Dörtgenin en büyük iç açısı kaç derecedir?
A) 130
B) 125
C) 120
D) 135
E) 140
∠B=∠A+20°, ∠C=2A−10° ve ∠D=2A+20° olur. İç açılar toplamından ∠A+(∠A+20)+(2A−10)+(2A+20)=360 yazılır; ∠A=55° bulunur. Buna göre açılar 55°, 75°, 100° ve 130° olduğundan en büyük açı 130°’dir.
Cevap: A
Örnek - 2
Bir dışbükey dörtgenin aynı yönlü dış açıları x°, (2x−10)°, (3x+5)° ve (4x−15)°’dir. En büyük dış açı ile en küçük dış açı arasındaki fark kaç derecedir?
A) 94
B) 99
C) 104
D) 109
E) 114
Dış açıların toplamından x+(2x−10)+(3x+5)+(4x−15)=360 ve x=38 bulunur. Açılar 38°, 66°, 119° ve 137°’dir; fark 137−38=99° olur.
Cevap: B
DÖRTGENLERDE AÇI VE AÇIORTAY BAĞINTILARI
İÇ VE DIŞ AÇILAR
Bir dörtgen, bir köşegeniyle iki üçgene ayrılır. Bu nedenle iç açıları toplamı 360°, her köşeden aynı dönme yönünde alınan birer dış açının toplamı yine 360°’dir. Bir iç açıyla ona komşu dış açının toplamı 180° olur.
ARDIŞIK VE KARŞILIKLI AÇIORTAYLAR
ABCD dörtgeninde A ve B köşelerinin iç açıortayları P’de kesişsin. ABP üçgeninden
m(∠APB)=180°−(∠A+∠B)/2=(∠C+∠D)/2
elde edilir. Karşılıklı A ve C iç açıortayları arasındaki dar açı ise |B−D|/2’dir. Formül ezberlemek yerine uygun üçgeni kurmak, iç ve dış açıortayların karıştırılmasını önler.
Örnek - 3
ABCD dörtgeninde A ve B iç açıları sırasıyla 110° ve 70°’dir. Bu iki köşeden çizilen iç açıortaylar P noktasında kesişiyor. m(∠APB) kaç derecedir?
A) 75
B) 80
C) 90
D) 100
E) 110
AP ve BP açıortay olduğundan ABP üçgeninin A ve B köşelerindeki açılar 55° ve 35°’tir. m(∠APB)=180−55−35=90° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 4
ABCD dörtgeninde ∠A+∠C=150° ve B:∠D=3:4’tür. A ile C köşelerinin iç açıortayları arasındaki dar açı kaç derecedir?
A) 7,5
B) 10
C) 12,5
D) 15
E) 17,5
∠A+∠C=150° olduğundan ∠B+∠D=210°’dir. B:∠D=3:4 oranından ∠B=90° ve ∠D=120° bulunur. Karşılıklı iç açıortaylar arasındaki dar açı |∠B−∠D|/2=15°’dir.
Cevap: D
Örnek - 5
ABCD dörtgeninde A ve B iç açıortayları P’de kesişiyor ve m(∠APB)=115° oluyor. ∠C=100° olduğuna göre D kaç derecedir?
A) 110
B) 115
C) 120
D) 125
E) 130
Ardışık açıortaylarda m(∠APB)=(∠C+∠D)/2’dir. 115=(100+∠D)/2 eşitliğinden ∠D=130° bulunur.
Cevap: E
Dikkat
Karşılıklı açıortay bağıntısında sonuç açı farkının yarısıdır; ardışık açıortaylarda ise diğer iki açının toplamının yarısı kullanılır.
KÖŞGENLERLE ÜÇGEN KURMA VE UZUNLUK
KÖŞGENİ ORTAK KENAR GÖREN İKİ ÜÇGEN
Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır. Bu nedenle Pisagor, kosinüs teoremi, üçgen eşitsizliği, alan ve benzerlik gibi bütün üçgen araçları iki parçaya ayrı ayrı uygulanabilir. Çözümde ortak köşegenin iki üçgende de aynı uzunluk olduğu unutulmamalıdır.
Örnek - 6
Kenar uzunlukları 7, 9, 12 ve x olan bir dörtgen oluşturulacaktır. x pozitif tam sayı ve dörtgenin çevresi 5’in katı olduğuna göre x kaç farklı değer alabilir?
A) 6
B) 5
C) 7
D) 8
E) 9
Dörtgen eşitsizliğinden 1≤x≤27’dir. Çevre 28+x olduğundan 5’in katı olması için x≡2 (mod 5) gerekir. Aralıktaki değerler 2, 7, 12, 17, 22 ve 27 olmak üzere 6 tanedir.
Cevap: A
Örnek - 7
ABCD dörtgeninde AC köşegendir. ABC üçgeninin kenarları 15, 20, 25; ADC üçgeninin kenarları 7, 24, 25 birimdir. Ortak kenar AC=25 olduğuna göre dörtgenin çevresi kaç birimdir?
A) 62
B) 66
C) 70
D) 72
E) 76
AC ortak köşegendir ve çevreye katılmaz. Dış kenarlar 15, 20, 24 ve 7 birimdir. Toplam 15+20+24+7=66 birim olur.
Cevap: B
Örnek - 8
Dışbükey ABCD dörtgeninde AC=10 birimdir. B ve D köşelerinin AC doğrusuna uzaklıkları 3:2 oranında ve ABCD’nin alanı 50 birimkaredir. Bu iki uzaklık arasındaki fark kaç birimdir?
A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
E) 3
Uzaklıklar 3k ve 2k olsun. AC ortak taban olduğundan toplam alan 10(3k+2k)/2=25k’dir. 25k=50’den k=2; uzaklıklar 6 ve 4 birimdir. Aralarındaki fark 2 birim olur.
Cevap: C
Örnek - 9
ABCD dörtgeninde m(∠ABC)=m(∠ADC)=90°, AB=6, BC=8 ve AD=2√21 birimdir. CD kaç birimdir?
A) 2
B) 2√2
C) 2√3
D) 4
E) 4√2
ABC dik üçgeninden AC=√(6²+8²)=10 bulunur. ADC de D köşesinde dik olduğundan CD²=AC²−AD²=100−84=16 ve CD=4’tür.
Cevap: D
Örnek - 10
ABCD dörtgeninde AB=8, AD=6, m(∠BAD)=60°’tir. BCD üçgeni C köşesinde dik ve BC=4 birim olduğuna göre CD kaç birimdir?
A) 2√5
B) 3√3
C) 4√2
D) 2√10
E) 6
ABD üçgeninde kosinüs teoremiyle BD²=8²+6²−2·8·6·cos60°=52’dir. BCD dik üçgeninde CD²=BD²−BC²=52−16=36 ve CD=6 bulunur.
Cevap: E
KÖŞGENLERİ DİK KESİŞEN DÖRTGENLER
KARŞILIKLI KENAR KARELERİ
ABCD dörtgeninde AC⊥BD ise köşegenlerin kesişim noktasından oluşan dört dik üçgene Pisagor uygulanır. Ortak parçalar sadeleştiğinde
AB²+CD²=BC²+AD²
bağıntısı elde edilir. Bu eşitlik, karşılıklı kenarların kendileri için değil kareleri toplamı içindir.
Örnek - 11
Köşegenleri dik kesişen ABCD dörtgeninde AB=7, BC=15 ve CD=20 birimdir. AD kaç birimdir?
A) 4√14
B) 6√6
C) 2√55
D) 15
E) 16
AB²+CD²=BC²+AD² yazılır. 49+400=225+AD² olduğundan AD²=224 ve AD=4√14 bulunur.
Cevap: A
Örnek - 12
Köşegenleri dik kesişen ABCD dörtgeninde AB=5, BC=13 ve CD=15 birimdir. Dörtgenin çevresi kaç birimdir?
A) 40
B) 42
C) 44
D) 46
E) 48
5²+15²=13²+AD² eşitliğinden AD²=81 ve AD=9 bulunur. Çevre 5+13+15+9=42 birimdir.
Cevap: B
DİK KÖŞGEN VE ORTA NOKTA DÖRTGENİ
Dışbükey ABCD dörtgeninde dik köşegenler E noktasında kesişsin. Dörtgen E’de dört dik üçgene ayrılır. Üçgen alanlarını toplayınca
elde edilir; çünkü AE+EC=AC ve BE+ED=BD. Böylece dik köşegenli dışbükey dörtgenin alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısıdır.
K, L, M ve N noktaları sırasıyla AB, BC, CD ve DA kenarlarının orta noktaları olsun. Üçgen orta taban teoremi KL ∥ AC, MN ∥ AC, LM ∥ BD ve NK ∥ BD olduğunu; ayrıca KL=MN=AC/2 ve LM=NK=BD/2 ilişkilerini verir. Bu nedenle KLMN Varignon paralelkenarıdır.
AC⊥BD olduğunda komşu kenarları dik olduğundan KLMN bir dikdörtgendir. Kenar uzunlukları AC/2 ve BD/2 olduğundan
olur. Dikdörtgenin kenarları a ve b ise ana dörtgenin köşegenleri 2a ve 2b birimdir.
Örnek - 13
Köşegenleri E noktasında dik kesişen ABCD dörtgeninde AE=3, EC=12, BE=4 ve ED=x birimdir. Dörtgenin alanı 60 birimkare olduğuna göre x kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
AC=15 ve BD=4+x’tir. Dik köşegenli dörtgende alan AC·BD/2 olduğundan 15(4+x)/2=60 yazılır. 4+x=8 ve x=4 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 14
Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde çevresi 32, alanı 60 birimkare olan bir dikdörtgen oluşuyor. Ana dörtgenin köşegen uzunlukları arasındaki fark kaç birimdir?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Varignon dikdörtgeninin kenarları a ve b olsun. 2(a+b)=32 ve ab=60 olduğundan a+b=16’dır. t²−16t+60=0 denklemiyle {a,b}={6,10} bulunur. Ana köşegenler 12 ve 20 olduğundan fark 8 birimdir.
Cevap: D
DÖRTGENLERDE ALAN
KÖŞGENLER VE ARALARINDAKİ AÇIYLA ALAN
ABCD dışbükey dörtgeninde köşegen uzunlukları d1 ve d2, aralarındaki açı θ ise dört alt üçgenin alanları toplanarak
Alan(ABCD)=d1·d2·sinθ/2
bağıntısı elde edilir. Köşegenler dikse sin90°=1 olur. Sabit iki köşegen için alanın en büyük değeri, köşegenler dik kesiştiğinde ortaya çıkar.
Örnek - 15
Köşegen uzunlukları 12 ve 20 birim olan dışbükey bir dörtgende köşegenler arasındaki dar açı 30°’dir. Dörtgenin alanı kaç birimkaredir?
Köşegenlerinden biri 12 birim olan bir dörtgenin alanı 72 birimkaredir. Bu alan, aynı iki köşegen sabit tutularak elde edilebilecek en büyük alanın dörtte üçüdür. Diğer köşegen kaç birimdir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
Alan en büyük değerin dörtte üçü olduğundan köşegenler arasındaki açının sinüsü 3/4’tür. 72=(12·d·3/4)/2 eşitliğinden 72=9d/2 ve d=16 birim bulunur.
Cevap: A
Örnek - 17
Köşegenleri 10 ve 14 birim olan bir dörtgenin alanı, bu köşegenlerle elde edilebilecek en büyük alanın yarısıdır. Köşegenler arasındaki dar açı kaç derecedir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
En büyük alan sinθ=1 iken oluşur. Gerçek alan bunun yarısı olduğundan sinθ=1/2’dir. Dar açı θ=30° olur.
Cevap: B
Örnek - 18
Köşegenleri 13 ve 20 birim olan dışbükey bir dörtgende köşegenler arasındaki açı 60°’dir. Alan kaç birimkaredir?
A) 45√3
B) 52√3
C) 65√3
D) 90√3
E) 130√3
Alan=(13·20·sin60°)/2=130·√3/2=65√3 birimkaredir.
Cevap: C
KÖŞGENLERİN OLUŞTURDUĞU DÖRT BÖLGE
Köşegenler E noktasında kesiştiğinde AEB, BEC, CED ve DEA üçgenlerinin alanları sırasıyla S1, S2, S3, S4 olsun. Aynı yükseklikleri ve köşegen parçalarını karşılaştırarak
S1·S3=S2·S4
bulunur. Ayrıca aynı köşegene dayanan komşu üçgenlerin alan oranı, taban parçalarının oranına eşittir. Bu iki fikir, uzunluk verilmeden alan ve oran bulmaya imkân verir.
Örnek - 19
ABCD dörtgeninin köşegenleri E’de kesişiyor. AEB, BEC ve CED üçgenlerinin alanları sırasıyla 12, 18 ve 27 birimkaredir. DEA üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 24
Karşılıklı bölgelerin alan çarpımları eşittir: 12·27=18·S. Buradan S=18 birimkare bulunur.
Cevap: D
Örnek - 20
Bir dörtgenin köşegenleriyle oluşan ardışık bölgelerin alanları S1=2x+4, S2=3x, S3=6x ve S4=24 birimkaredir. Dörtgenin toplam alanı kaç birimkaredir?
A) 56
B) 60
C) 64
D) 68
E) 72
Karşılıklı bölgeler için (2x+4)·6x=3x·24 yazılır. x>0 olduğundan 12x+24=72 ve x=4 bulunur. Alanlar 12, 12, 24 ve 24’tür; toplam 72 birimkaredir.
Cevap: E
Örnek - 21
ABCD dörtgeninin köşegenleri E’de kesişiyor. AEB ve BEC üçgenlerinin alanları 15 ve 25 birimkaredir. AC=24 birim olduğuna göre AE kaç birimdir?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 14
E) 15
AEB ve BEC üçgenlerinin B’den AC doğrusuna yükseklikleri aynıdır. Bu nedenle AE/EC=15/25=3/5’tir. AC sekiz eş oran parçasına karşılık geldiğinden AE=24·3/8=9 birimdir.
Cevap: A
Örnek - 22
Bir dörtgenin köşegenleriyle oluşan ardışık bölgelerden ilk ikisinin alanları 12 ve 18 birimkaredir. Üçüncü bölgenin alanı x ve dörtgenin toplam alanı 80 birimkare olduğuna göre x kaçtır?
A) 24
B) 30
C) 32
D) 36
E) 40
Dördüncü alan S olsun. 12x=18S olduğundan S=2x/3’tür. Toplam alan 12+18+x+2x/3=80 eşitliğini verir. Buradan 5x/3=50 ve x=30 bulunur.
Cevap: B
KENAR ORTA NOKTALARI VE VARIGNON PARALELKENARI
ÇEVRE VE ALAN BAĞINTILARI
Herhangi bir ABCD dörtgeninin AB, BC, CD ve DA kenarlarının orta noktaları sırasıyla K, L, M ve N olsun. Üçgen orta taban teoremine göre KL ve MN, AC’ye; LM ve NK ise BD’ye paraleldir. Böylece KLMN her zaman bir paralelkenardır.
Çevre(KLMN)=AC+BD Alan(KLMN)=Alan(ABCD)/2
AC=BD ise Varignon paralelkenarı eşkenar dörtgen; AC⊥BD ise dikdörtgen; iki koşul birlikte sağlanırsa kare olur. Bu sonuçlar, ana dörtgenin özel bir türde olmasını gerektirmez.
Örnek - 23
Köşegen uzunlukları 11 ve 19 birim olan bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştiriliyor. Oluşan paralelkenarın çevresi kaç birimdir?
A) 26
B) 28
C) 30
D) 32
E) 34
Varignon paralelkenarının çevresi ana dörtgenin köşegen uzunlukları toplamıdır: 11+19=30 birim.
Cevap: C
Örnek - 24
Alanı 192 birimkare olan bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirilerek birinci Varignon paralelkenarı, bunun da kenar orta noktaları birleştirilerek ikinci paralelkenar oluşturuluyor. Birinci ve ikinci paralelkenar arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 24
B) 32
C) 40
D) 48
E) 64
Birinci paralelkenarın alanı 192/2=96, ikincinin alanı 96/2=48 birimkaredir. İkisinin arasında kalan alan 96−48=48 birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 25
Köşegenleri birbirine dik ve uzunlukları 16 ile 12 birim olan bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştiriliyor. Oluşan dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 24
B) 32
C) 36
D) 40
E) 48
Ana dörtgenin alanı 16·12/2=96 birimkaredir. Varignon dikdörtgeninin alanı bunun yarısı, yani 48 birimkaredir.
Cevap: E
Örnek - 26
Bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde kare oluşuyor. Buna göre ana dörtgenin köşegenleri için hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Eşit uzunlukta ve birbirine diktir.
B) Yalnız eşit uzunluktadır.
C) Yalnız birbirine diktir.
D) Birbirini ortalar.
E) Açıortay özelliği gösterir.
Varignon paralelkenarının komşu kenarları ana dörtgenin köşegenlerinin yarılarıdır ve onlara paraleldir. Karenin kenarları eşit, komşu kenarları dik olduğundan ana köşegenler hem eşit hem diktir.
Cevap: A
AYT DÜZEYİ MODELLEME VE BİRLEŞİK UYGULAMALAR
ORTA NOKTA, DÖNÜŞÜM VE ARDIŞIK UYGULAMA
Dörtgen sorularında katlama, kesme ve döndürme anlatımı görünse de temel araçlar değişmez: katlama bir yansıma, döndürme uzaklık koruyan bir dönüşüm, orta nokta bir oran ve kesme işlemi alan parçalamadır. Şeklin yeni hâlinde korunan uzunluk, açı ve alanlar işaretlenerek problem klasik bağıntılara indirilir.
Örnek - 27
Köşegenleri birbirine dik ve uzunlukları 10 ile 24 birim olan bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştiriliyor. Oluşan dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 48
B) 60
C) 72
D) 96
E) 120
Varignon dikdörtgeninin kenarları köşegenlerin yarıları, yani 5 ve 12 birimdir. Alan 5·12=60 birimkaredir.
Cevap: B
Örnek - 28
Alanı 224 birimkare olan bir dörtgene art arda üç kez kenar orta noktalarını birleştirme işlemi uygulanıyor. Oluşan birinci, ikinci ve üçüncü iç dörtgenlerin alanları toplamı kaç birimkaredir?
A) 168
B) 182
C) 196
D) 210
E) 224
Her uygulamada alan yarıya iner. İç dörtgenlerin alanları 112, 56 ve 28 birimkaredir. Toplamları 112+56+28=196 birimkare olur.
Cevap: C
Örnek - 29
Köşegenleri 18 ve 26 birim olan dörtgen biçimindeki bir tel çerçevenin kenar orta noktaları işaretleniyor. Bu dört nokta arasına sırayla yeni tel geriliyor. Yeni telin toplam uzunluğu kaç birimdir?
A) 36
B) 40
C) 42
D) 44
E) 48
Yeni tel Varignon paralelkenarının çevresidir ve ana dörtgenin köşegenleri toplamına eşittir. 18+26=44 birimdir.
Cevap: D
KÖŞGENLERLE ALAN MODELİ
Karma model sorularında köşegenlerle oluşan karşılıklı bölgelerin alan çarpımları eşitliği, renk veya bağlamdan bağımsız olarak korunur.
Örnek - 30
Bir dörtgenin köşegenleriyle oluşan ardışık üç bölgenin alanları 24, 30 ve 45 birimkaredir. Dördüncü bölge turuncuya boyanıyor. Dörtgenin toplam alanı kaç birimkaredir?
A) 120
B) 124
C) 128
D) 132
E) 135
Turuncu alan S ise 24·45=30S eşitliğinden S=36 bulunur. Toplam alan 24+30+45+36=135 birimkaredir.
Cevap: E
Dörtgeni uygun bir köşegenle üçgenlere ayırmak; açı, uzunluk ve alan ilişkilerinin hangi büyüklüğü koruduğunu görünür hâle getirir.
