AYT üçgende açılar konu anlatımı kapsamında üçgenin iç ve dış açıları, yardımcı doğrular, paralellik ilişkileri ve açıortay uygulamaları işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ÜÇGENDE TEMEL AÇI BAĞINTILARI
Üçgenin Elemanları ve Adlandırılması
Doğrusal olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle üçgen oluşur. ABC üçgeninde A, B ve C köşe; AB, BC ve CA kenar; ∠A, ∠B ve ∠C ise iç açılardır. Bir açının karşısındaki kenar ile bir kenarın karşısındaki açı eşleştirilirken harf sırası değil, geometrik konum esas alınır.
∠A’nın karşısıBC kenarı
∠B’nin karşısıCA kenarı
∠C’nin karşısıAB kenarı
Gösterimm(∠A)=A biçiminde kısaltılabilir.
İç Açılar Toplamı
Her üçgende iç açıların ölçüleri toplamı 180°’dir. Bu sonuç, bir köşeden karşı kenara paralel doğru çizilip diğer iki iç açının yöndeş ve iç ters açı olarak o köşeye taşınmasıyla da görülebilir.
İç açılarA+B+C=180°
→
Bir açı bilinmiyorsaC=180°−(A+B)
Örnek - 1
Bir üçgenin iç açıları (x+15)°, (2x−5)° ve (3x+20)° olduğuna göre en büyük iç açı kaç derecedir?
A) 85
B) 90
C) 95
D) 100
E) 105
Açıların toplamı 180° olduğundan 6x+30=180 ve x=25 bulunur. Açılar 40°, 45° ve 95° olduğuna göre en büyük açı 95°’dir.
Cevap: C
Örnek - 2
Bir üçgenin iç açıları 2, 3 ve 4 ile doğru orantılıdır. En büyük açı ile en küçük açı arasındaki fark kaç derecedir?
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
Açılar 2k, 3k ve 4k olsun. 9k=180 olduğundan k=20’dir. En büyük ve en küçük açıların farkı 80−40=40° olur.
Cevap: C
Dış Açılar ve Uzak İç Açılar
Bir köşedeki dış açı, o köşedeki iç açının bütünleridir. Aynı dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Her köşeden aynı yönde seçilen birer dış açının toplamı ise 360°’dir.
Örnek - 3
Bir üçgende 132°’lik dış açının karşısındaki uzak iç açılar 5:6 oranındadır. Bu iki açıdan küçük olanı kaç derecedir?
A) 48
B) 54
C) 60
D) 66
E) 72
Uzak iç açılar 5k ve 6k olsun. 11k=132 olduğundan k=12; küçük açı 5·12=60° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 4
Bir üçgenin aynı yönde alınan dış açıları (x+20)°, (2x+10)° ve (3x−30)°’dir. En büyük iç açı kaç derecedir?
A) 90
B) 95
C) 100
D) 105
E) 110
Dış açıların toplamından 6x=360 ve x=60 bulunur. Dış açılar 80°, 130° ve 150°; bunların bütünleri olan iç açılar 100°, 50° ve 30°’dir. En büyük iç açı 100° olur.
Cevap: C
ÜÇGENLERİN AÇI VE KENAR YAPISI
Açılarına Göre Üçgenler
Üç iç açısı da 90°’den küçük olan üçgen dar açılı, bir açısı 90° olan üçgen dik, bir açısı 90°’den büyük olan üçgen geniş açılıdır. İç açılar toplamı 180° olduğundan bir üçgende iki dik veya iki geniş açı bulunamaz.
Tür
Ayırt edici koşul
Diğer açılar
Dar açılı
Üç açı da 90°’den küçük
Dar
Dik üçgen
Bir açı 90°
Toplamları 90°
Geniş açılı
Bir açı 90°’den büyük
İkisi de dar
Örnek - 5
Bir üçgenin açıları hakkında şu bilgiler veriliyor: I. En büyük açı 90°’dir. II. Diğer iki açının farkı 18°’dir. Buna göre küçük açı kaç derecedir?
A) 27
B) 32
C) 36
D) 41
E) 45
Dik olmayan iki açının toplamı 90°’dir. Büyük olan y, küçük olan x ise x+y=90 ve y−x=18 olur. İki denklemden 2x=72, x=36° bulunur.
Cevap: C
Kenarlarına Göre Üçgenler ve Açı Sonuçları
Üç farklı kenarlı üçgende tüm kenarlar ve karşılarındaki açılar farklıdır. İki kenarı eşit olan ikizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açıları eşittir. Üç kenarı eşit olan eşkenar üçgende her açı 60°’dir. Bu bölümde yalnız açı sonucu kullanılır; ayrıntılı ikizkenar ve eşkenar üçgen özellikleri sonraki konuda ele alınacaktır.
Örnek - 6
AB=AC olan ABC üçgeninde A açısı (3x−6)°, B açısı (x+18)°’dir. A açısı ile C açısı arasındaki fark kaç derecedir?
A) 24
B) 30
C) 36
D) 42
E) 48
AB=AC olduğundan karşılarındaki C ve B açıları eşittir. (3x−6)+2(x+18)=180 eşitliği x=30 verir. A=84°, C=48° ve fark 36°’dir.
Cevap: C
Dikkat
Şeklin ikizkenar görünmesi eşitlik kanıtı değildir. Eş kenar çizgileri, açık uzunluk eşitliği veya bunu zorunlu kılan başka bir bilgi bulunmadan taban açıları eşit alınamaz.
YARDIMCI DOĞRUYLA AÇI TAKİBİ
Paralel Doğruyla Açı Taşıma
Karmaşık bir üçgen çiziminde, uygun noktadan bir kenara paralel doğru geçirilerek taban açıları aynı köşeye taşınabilir. Kesikli doğru D noktasından geçer ve BC’ye paraleldir. Paralellikten dolayı, DB ile kesikli doğrunun sol kolu arasındaki açı α; DC ile kesikli doğrunun sağ kolu arasındaki açı β olur. D çevresindeki alt taraftaki doğru açı 180° olduğundan, BDC üçgeninin D iç açısı 180°−(α+β)’dir.
Şekil şematiktir; paralellik ve açı ilişkileri metinde tanımlanmıştır.
Örnek - 7
ABC üçgeninde B açısı, BD ışınıyla 32° ve 27°’lik iki parçaya ayrılıyor. A açısı 46° olduğuna göre C açısı kaç derecedir?
Şekil şematiktir; D, AC üzerindeki nokta olarak gösterilmiştir.
A) 69
B) 72
C) 75
D) 78
E) 81
B açısı 32+27=59°’dir. İç açılar toplamından C=180−46−59=75° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 8
Dar açılı ABC üçgeninde, A köşesinden geçen d doğrusu BC’ye paraleldir. AB ile d arasındaki dar açı 42°, AC ile d arasındaki dar açı 57° olduğuna göre A açısı kaç derecedir?
Paralellik oklarla belirtilmiştir; açı ölçüleri metindeki verilerden alınır.
A) 75
B) 78
C) 81
D) 84
E) 87
Dar açılı ABC üçgeninde paralellikten B=42° ve C=57° olur. Üçgenin iç açıları toplamından A=180°−42°−57°=81° bulunur.
Cevap: C
Doğrusallık ve Dış Açıyla Geri İzleme
Bir kenar uzatılmışsa oluşan 180°’lik doğrusal çift, çoğu zaman üçgenin görünmeyen iç açısını verir. Ardından iç açı toplamı veya dış açı teoremiyle diğer açılara geçilir. Yardımcı çizgi kullanmadan önce hangi noktaların doğrusal olduğu işaretlenmelidir.
Örnek - 9
ABC üçgeninde BC kenarı C’den D’ye uzatılıyor ve ACD dış açısı 124° oluyor. A açısı B açısından 20° büyük olduğuna göre A açısı kaç derecedir?
Şekil şematiktir; 124° dış açı soru kökündeki ölçüdür.
A) 62
B) 66
C) 72
D) 76
E) 82
Dış açı teoreminden A+B=124°’dir. A=B+20 olduğundan 2B+20=124, B=52 ve A=72° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 10
ABC üçgeninde D, BC üzerindedir. ∠BAD=28°, ∠DAC=34° ve ∠ADB=96° olduğuna göre C açısı kaç derecedir?
Şekil şematiktir; açı ölçüleri metindeki verilerden alınır.
A) 54
B) 58
C) 62
D) 66
E) 70
ABD üçgeninde B=180−28−96=56° bulunur. ABC üçgeninin A açısı 28+34=62°’dir. İç açı toplamından C=180−62−56=62° olur.
Cevap: C
AÇIORTAY, YÜKSEKLİK VE ÖZEL AÇI İLİŞKİLERİ
İç Açıortay ve Yükseklik
AD iç açıortay ise A açısını iki eş parçaya ayırır. AH yükseklik ise BC’ye diktir. Aynı köşeden çizilen açıortay ile yüksekliğin arasındaki dar açı, taban açılarının farkının yarısına eşittir.
Örnek - 11
ABC üçgeninde AD, A açısının açıortayı ve D, BC üzerindedir. A=76° ve ∠ADB=110° olduğuna göre C açısı kaç derecedir?
Eş yaylar AD’nin açıortay olduğunu gösterir; ölçüler soru kökündeki gibidir.
A) 64
B) 68
C) 72
D) 76
E) 80
Açıortaydan ∠BAD=38°’dir. ABD üçgeninde B=180−38−110=32° bulunur. ABC üçgeninde C=180−76−32=72°’dir.
Cevap: C
Örnek - 12
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen iç açıortay ile yükseklik arasındaki dar açı θ’dır. B=74° ve C=42° olduğuna göre θ kaç derecedir?
Kare işareti dikliği, eş yaylar açıortayı gösterir; şekil şematiktir.
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
Aynı köşeden çizilen açıortay ile yükseklik arasındaki açı |B−C|/2’dir. θ=(74−42)/2=16° bulunur.
Cevap: C
Açı İşaretlerini Okuma
Açıortay işareti eş yaylarla, diklik ise küçük kareyle gösterilir. Bir doğru hem açıortay hem yükseklik olarak verilmedikçe bu iki özellik birbirine dönüştürülemez. Özellikle ölçekli olmayan çizimlerde gözle simetri kurmak yanlış sonuca götürür.
Örnek - 13
ABC üçgeninde AH⊥BC ve AD, A açısının açıortayıdır. H ve D, BC üzerinde farklı noktalardır. ∠HAD=9° ve B açısı C açısından büyüktür. B−C kaç derecedir?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
E) 21
Açıortay ile yükseklik arasındaki dar açı |B−C|/2’dir. 9=(B−C)/2 olduğundan B−C=18° bulunur.
Cevap: D
İÇMERKEZ, DIŞMERKEZ VE DİKLİK MERKEZİ AÇILARI
İçmerkez ve Dışmerkez
İç açıortayların kesişim noktası I içmerkezdir. B ve C köşelerinden gelen iç açıortayların arasındaki geniş açı `∠BIC=90°+A/2` bağıntısını sağlar. B ve C dış açıortaylarının A karşısındaki kesişiminde ise ilgili açı `90°−A/2` olur.
Örnek - 14
ABC üçgeninde I içmerkezdir. A=68° olduğuna göre ∠BIC kaç derecedir?
I içmerkez, BI ve CI açıortaydır; şekil şematiktir.
A) 116
B) 120
C) 124
D) 128
E) 132
İçmerkez bağıntısından ∠BIC=90+A/2=90+34=124° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 15
ABC üçgeninde BI ve CI açıortayları I noktasında kesişiyor. Görselde ∠BIC=136° verildiğine göre x kaç derecedir?
A) 84
B) 88
C) 92
D) 96
E) 100
136=90+x/2 olduğundan x/2=46 ve x=92° bulunur. Görseldeki I harfi, iki iç açıortayın kesiştiği içmerkez noktasını gösterir.
Cevap: C
Örnek - 16
ABC üçgeninde B ve C köşelerindeki dış açıortayların kesiştiği nokta IA‘dır. ∠BIAC=56° olduğuna göre A açısı kaç derecedir?
I_A, B ve C dış açıortaylarının kesişim noktasıdır; şekil şematiktir.
A) 60
B) 64
C) 68
D) 72
E) 76
Dışmerkez bağıntısı 56=90−A/2 biçimindedir. A/2=34 olduğundan A=68° bulunur.
Cevap: C
Diklik Merkezi
Üçgenin yükseklikleri H noktasında kesişir; H diklik merkezidir. Dar açılı ABC üçgeninde H iç bölgede bulunur ve B ile C köşelerinden H’ye giden ışınlar arasındaki açı ∠BHC=180°−A olur. Dik üçgende H, dik açının bulunduğu köşeyle çakışır ve ∠BHC=90°’dir. Geniş açılı üçgende ∠BHC=A olur: geniş açı A köşesindeyse H=A’dır; geniş açı B veya C köşesindeyse H üçgenin dışında kalır. Dolayısıyla 180°−A bağıntısı dar açılı üçgen için kullanılır.
Örnek - 17
Dar açılı ABC üçgeninde H diklik merkezidir. A=54° olduğuna göre ∠BHC kaç derecedir?
Kare işaretler yükseklikleri gösterir; ölçüler soru kökündeki verilerle değerlendirilir.
A) 116
B) 120
C) 126
D) 132
E) 136
Dar açılı üçgende ∠BHC=180°−A olduğundan ∠BHC=180°−54°=126° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 18
ABC üçgeninde iki yükseklik H noktasında kesişiyor. Görselde ∠BHC=148° olduğuna göre x kaç derecedir?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
148=180−x olduğundan x=32° bulunur. H, diklik işaretli iki yüksekliğin kesiştiği noktadır.
Cevap: C
ÜÇGENLERDE AÇI UYGULAMALARI
Yön ve Rota İlişkileri
Kuzey-güney doğrultusu doğu-batı doğrultusuna diktir. Rota üçgeninde bu diklik, yön açısıyla üçgenin iç açısı arasında 90° referansı kurar. Eşit iki kenarın karşısındaki iç açılar da eşittir.
Örnek - 19
Bir yürüyüş rotasında kuzey doğrultusu AC’ye diktir, kuzey ile AB arasındaki açı 68° ve AB=BC’dir. Görseldeki x açısı kaç derecedir?
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
Kuzey doğrultusu AC’ye dik olduğundan A açısı 90−68=22°’dir. AB=BC olduğuna göre bu kenarların karşısındaki C ve A açıları eşittir. Bu nedenle x=22° bulunur.
Cevap: C
Aynı Yöndeki Dış Açılar
Örnek - 20
Bir üçgenin aynı yöndeki dış açıları 2:3:4 oranındadır. Bu üçgenin en büyük iç açısı kaç derecedir?
A) 80
B) 90
C) 100
D) 110
E) 120
Dış açılar 2k, 3k ve 4k olsun. 9k=360 olduğundan k=40; dış açılar 80°, 120° ve 160°’dir. Bunların bütünleri olan iç açılar 100°, 60° ve 20° olduğundan en büyük iç açı 100° olur.
Cevap: C
Dikkat
İçmerkez I için ∠BIC=90°+A/2 bağıntısında A, BIC açısının karşısındaki üçgen açısıdır. Dar açılı ABC üçgeninde diklik merkezi H için ∠BHC=180°−A olur.
