AYT geometrik kavramlar ve doğruda açılar konu anlatımı kapsamında doğru, doğru parçası, ışın, açı çeşitleri, paralel doğrular, açıortaylar ve kırık çizgilerde açı ilişkileri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Şekli okuDoğru, ışın, paralellik ve açı işaretlerini belirle
→
Bağıntıyı seçEşitlik mi, bütünlerlik mi kullanılacağını ayır
→
Denklemi kurAçı toplamını eksiksiz biçimde yaz
GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI
Nokta, Doğru, Doğru Parçası ve Işın
Nokta yalnız konum bildirir; eni, boyu ve derinliği yoktur. Büyük harfle adlandırılır. İki farklı noktadan yalnız bir doğru geçer. Doğru iki yönde sınırsız uzanırken doğru parçasının iki ucu bellidir; ışının ise başlangıç noktası belli, diğer yönü sınırsızdır.
DoğruAB veya dİki yönde sonsuz
Doğru parçası[AB]İki ucu belli
Işın[ABA’dan başlayıp B yönünde
Doğrusal noktalarA, B ve CAynı doğru üzerinde
Bir gösterimde harflerin sırası önemlidir. [AB ışını A’dan başlar; [BA ışını ise B’den başlar. Buna karşılık [AB] ve [BA] aynı doğru parçasını gösterir. Bir noktanın doğru üzerinde bulunması A ∈ d, bulunmaması A ∉ d biçiminde yazılabilir.
Örnek - 1
A, B ve C aynı doğru üzerinde ve B noktası A ile C arasındadır. |AC|=18, |AB|=3x−2 ve |BC|=x+4 olduğuna göre x kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
B arada olduğundan |AB|+|BC|=|AC| yazılır. (3x−2)+(x+4)=18 eşitliğinden 4x=16 ve x=4 bulunur.
Açı, Açı Bölgesi ve Adlandırma
Ortak başlangıç noktalı iki ışının birleşimi açı oluşturur. ∠AOB gösteriminde O köşe, OA ve OB ışınları açının kollarıdır. Üç harfli adlandırmada köşe harfi daima ortada bulunur. Aynı köşeden çok sayıda ışın çıkıyorsa tek harfli adlandırma belirsizlik oluşturabilir.
Açı ölçüsü dereceyle gösterilir. Bir ışının başlangıç konumundan saat yönünün tersine bir tam tur dönmesi 360°, yarım tur 180°, çeyrek tur 90°’dir. Yönlü açı çalışmalarında saat yönündeki dönüş negatif seçilebilir; bu yazıda temel ölçüler 0° ile 360° arasında ele alınır.
Örnek - 2
O noktasından çıkan OA, OB, OC ve OD ışınları bu sırayla yerleşmiştir. m(AOB)=28°, m(BOC)=3·m(COD) ve m(AOD)=124° olduğuna göre m(BOC) kaç derecedir?
A) 60
B) 66
C) 72
D) 78
E) 84
m(COD)=t alınırsa 28+3t+t=124 olur. Buradan t=24, m(BOC)=72° bulunur.
Cevap: C
AÇI TÜRLERİ VE TEMEL AÇI BAĞINTILARI
Dar, Dik, Geniş, Doğru ve Tam Açı
Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açı dar, 90° olan açı dik, 90° ile 180° arasında olan açı geniş, 180° olan açı doğru, 360° olan açı tam açıdır. Aşağıdaki görselde 1 dar, 2 dik, 3 geniş, 4 doğru ve 5 tam açıyı gösterir; α sembolü değişken açı ölçüsüdür.
Örnek - 3
Ölçüsü (5x−20)° olan açı dar, (3x+30)° olan açı geniş açıdır. x tam sayı olduğuna göre x’in alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
0<5x−20<90 eşitsizliği 4<x<22; 90<3x+30<180 eşitsizliği 20<x<50 verir. Ortak tam sayı yalnız x=21’dir. Dolayısıyla bir değer vardır.
Cevap: A
Komşu, Tümler ve Bütünler Açılar
Köşesi ve bir kolu ortak, iç bölgeleri kesişmeyen açılar komşu açılardır. Ölçüleri toplamı 90° olan iki açı tümler, toplamı 180° olan iki açı bütünlerdir. Tümler veya bütünler açıların komşu olması gerekmez; bu adlandırmalar yalnız ölçü toplamını belirtir.
Tümlerα+β=90°
+
Bütünlerα+γ=180°
→
Aralarındaki farkVerilen oranla birlikte denklem kurulur
Örnek - 4
Bir açının tümlerinin ölçüsü, bütünlerinin ölçüsünün 2/5’idir. Açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
Açı x° olsun. 90−x=(2/5)(180−x) eşitliği 450−5x=360−2x verir. 3x=90 olduğundan x=30° bulunur.
Cevap: C
Ters Açılar ve Doğru Açı
İki doğru kesiştiğinde karşılıklı duran açılar ters açılardır ve ölçüleri eşittir. Yan yana duran iki açı ise ortak olmayan kolları bir doğru oluşturuyorsa bütünlerdir. Böylece kesişim çevresindeki dört açının ölçüleri sırayla α, 180°−α, α, 180°−α biçimindedir.
Örnek - 5
AC ve BD doğruları O noktasında kesişiyor. Görselde AOB açısı 4x+12°, BOC açısı 7x−3° olarak verilmiştir. Buna göre 11x kaçtır?
A) 165
B) 168
C) 171
D) 174
E) 177
AOB ile BOC komşu bütünler açılardır. (4x+12)+(7x−3)=180 eşitliğinden 11x+9=180 ve 11x=171 bulunur.
Cevap: C
AÇIORTAY VE ÇOK IŞINLI ŞEKİLLER
Açıortay
Bir açıyı ölçüleri eşit iki açıya ayıran ışına açıortay denir. OC, ∠AOB’nin açıortayıysa m(AOC)=m(COB)=m(AOB)/2 olur. Aynı şekil üzerinde birden fazla açıortay varsa eşitlikler ayrı ayrı yazılmalı, ortak görünen her ışın kendiliğinden açıortay kabul edilmemelidir.
Örnek - 6
A, O ve E doğrusal; OB, OC ve OD ışınları üst yarı düzlemdedir. Görselde m(AOB)=3x+6°, m(DOE)=2x+9° ve m(BOC)+m(COD)=75° olduğuna göre x kaçtır?
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
Üst yarı düzlemdeki açılar doğru açı oluşturur: (3x+6)+75+(2x+9)=180. Buradan 5x+90=180 ve x=18 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 7
OC, ∠AOB’nin; OD ise ∠COB’nin açıortayıdır. m(AOD)=54° olduğuna göre m(AOB) kaç derecedir?
A) 72
B) 80
C) 84
D) 90
E) 96
m(AOC)=m(COB)=t olsun. OD, COB’nin açıortayı olduğundan m(COD)=t/2’dir. m(AOD)=t+t/2=54 ise t=36 ve m(AOB)=2t=72° olur.
Cevap: A
Dikkat
Açıortay işareti veya açık eşitlik verilmemişse şeklin simetrik görünmesi yeterli değildir. Geometri çizimleri ölçekli olmak zorunda olmadığından göz kararıyla eş açı kabul edilmez.
PARALEL DOĞRULARDA AÇILAR
Kesen Doğru ve Açı Aileleri
İki paralel doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde sekiz açı oluşur. Aşağıdaki görselde d₁ ve d₂ paralel doğrular, k kesen doğrudur. Üst kesişimde 1–4, alt kesişimde 5–8 açıları gösterir.
Yöndeş1–5, 2–6, 3–8, 4–7Eş
İç ters3–6, 4–5Eş
Dış ters1–7, 2–8Eş
Aynı yandaki iç3–5, 4–6Toplam 180°
Ters açı eşitliği paralellik gerektirmez; yalnız kesişen iki doğru bulunması yeterlidir. Yöndeş, iç ters ve dış ters açıların eşitliği ise d₁ ∥ d₂ koşuluna bağlıdır. Paralellik verilmemişse bu eşitlikler kullanılamaz.
Örnek - 8
d₁ ∥ d₂ iken görseldeki üç işaretli açı sırasıyla 2x+15°, x+30° ve 3x−5°’dir. Buna göre x kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Kırılma noktasından paralellere bir yardımcı paralel geçirildiğinde ortadaki açı, üst ve alt dar açıların toplamıdır. x+30=(2x+15)+(3x−5) eşitliğinden 4x=20 ve x=5 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 9
Paralel iki doğruyu bir kesen kesiyor. Oluşan dar açılardan birinin ölçüsü (3x+8)°, geniş açılardan birinin ölçüsü (7x−8)° olduğuna göre dar açı kaç derecedir?
A) 58
B) 60
C) 62
D) 64
E) 66
Dar ve geniş açı bütünlerdir: 3x+8+7x−8=180. Buradan x=18 ve dar açı 3·18+8=62° bulunur.
Cevap: C
Paralelliğin Tersi
Bir kesenle oluşan yöndeş açılar eşitse, iç ters açılar eşitse veya aynı yandaki iç açıların toplamı 180° ise kesilen doğrular paraleldir. Bu sonuçlar yalnız paralellikten açı üretmek için değil, verilen açı bilgisiyle paralelliği kanıtlamak için de kullanılır.
Örnek - 10
Bir kesenin iki doğruyla oluşturduğu aynı yandaki iç açıların ölçüleri 5x+10° ve 7x+2°’dir. Doğrular paralel olduğuna göre x kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Aynı yandaki iç açılar bütünlerdir: 5x+10+7x+2=180. 12x=168 olduğundan x=14 bulunur.
Cevap: C
KIRIK DOĞRULARDA AÇI KURALLARI
Z, U ve M Düzenleri
Şeklin görünüşüne göre ezberlenen harfler, aslında paralellik bağıntılarının kısa adlarıdır. Z düzeninde iç ters açılar eşit, U düzeninde aynı yandaki iç açılar bütünlerdir. M düzeninde ise kırılma noktasından paralellere paralel yardımcı doğru geçirilerek üst ve alt kollardaki açı parçaları taşınır.
Örnek - 11
d₁ ∥ d₂ iken A ve B, d₁; C ise iki paralel arasındadır. Görselde m(CAB)=34°, m(ABC)=26° ve m(ACB)=2x−8° olduğuna göre x kaçtır?
A) 58
B) 60
C) 62
D) 64
E) 66
C’den d₁ ve d₂’ye paralel yardımcı doğru geçirildiğinde C çevresindeki dış parçalar 34° ve 26° olur. Görselde işaretlenen iç açı 180−(34+26)=120°’dir. 2x−8=120 eşitliğinden x=64 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 12
Paralel iki doğru arasında Z biçimli bir kesen üzerinde iç ters açılar 6x−11° ve 4x+25° olarak verilmiştir. Bu açılardan birinin ölçüsü kaç derecedir?
A) 79
B) 85
C) 91
D) 97
E) 103
İç ters açılar eşittir: 6x−11=4x+25. x=18 ve açı ölçüsü 97°’dir.
Cevap: D
Örnek - 13
Paralel iki doğru arasında U biçimli bir kesen üzerinde aynı yandaki iç açılar 3x+12° ve 5x−8°’dir. Büyük açı kaç derecedir?
A) 96
B) 100
C) 102
D) 105
E) 108
U düzenindeki iki açı bütünlerdir: 3x+12+5x−8=180. 8x=176, x=22 olur. Açılar 78° ve 102° olduğundan büyük açı 102°’dir.
Cevap: C
Zikzak, Kalem ve Bumerang Düzenleri
Birden çok kırılmalı şekillerde güvenilir yöntem, her kırılma noktasından ana paralellere paralel yardımcı doğrular geçirmektir. Böylece karmaşık görünen zikzak, kalem veya bumerang biçimi art arda gelen yöndeş, iç ters ve bütünler açı ilişkilerine ayrılır. Şeklin harfe benzemesi tek başına kural değildir; paralellik işareti aranır.
Örnek - 14
Paralel iki doğru arasında aynı yönde ilerleyen dört parçalı bir zikzakta ardışık yön değiştirme açıları 35°, 82° ve 47°’dir. İlk parça üst paralelle 28° yapıyorsa son parçanın alt paralelle yaptığı dar açı kaç derecedir?
A) 20
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
Yön değişimleri işaretli ele alınır. İlk doğrultu 28° iken sırasıyla +35°, −82° ve +47° değişimleri uygulanır: 28+35−82+47=28°. Son parçanın paralelle yaptığı dar açı 28° olur.
Cevap: C
Örnek - 15
Bir bumerang düzeninde içbükey köşedeki açı x, diğer üç köşedeki ve aynı yöne bakan açı parçaları 32°, 41° ve 27°’dir. Yardımcı paralellerle bu üç parça içbükey köşeye taşındığına göre x kaç derecedir?
A) 90
B) 95
C) 100
D) 105
E) 110
Bumerang düzeninde aynı yöne taşınan üç açı parçası içbükey köşedeki açıyı oluşturur. x=32+41+27=100° bulunur.
Cevap: C
AYT SORULARINDA ÇÖZÜM STRATEJİSİ
Yardımcı Paralel ve Yönlü Dönüş
Kırık çizgili bir soruda önce bilinen paraleller işaretlenir. Ardından her kırılma noktasından bu doğrulara paralel yardımcı çizgiler düşünülür. Açıların dar mı geniş mi olduğu, eş açı aktarımından sonra 180°’ye tamamlama gerekip gerekmediğiyle birlikte kontrol edilir.
Örnek - 16
Bir robot başlangıç doğrultusundan sırasıyla saat yönünde 70°, saat yönünün tersine 115°, saat yönünde 40° ve saat yönünün tersine 85° dönüyor. Son doğrultusu başlangıç doğrultusuna göre kaç derece ve hangi yöndedir?
A) Saat yönünde 10°
B) Saat yönünün tersine 10°
C) Saat yönünde 90°
D) Saat yönünün tersine 90°
E) Aynı doğrultu
Saat yönünü negatif alırsak toplam dönüş −70+115−40+85=90° olur. Son doğrultu başlangıca göre saat yönünün tersine 90°’dir.
Cevap: D
Ölçekli Olmayan Şekli Kontrol Etme
Bir açı çizimde dar görünse de cebirsel sonuç geniş çıkabilir. Kararı şeklin görünüşü değil; paralellik, diklik, eş açı yayı ve sayısal bilgiler verir. Sonuç elde edildiğinde 0°–90°–180° sınırlarıyla tür kontrolü yapılması, yanlış bütünler veya ters açı kullanımını hızla ortaya çıkarır.
Örnek - 17
Kesişen iki doğrunun oluşturduğu dar açının ölçüsü 2x+6°, geniş açının ölçüsü ise dar açının iki katından 18° fazladır. x kaçtır?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 26
E) 28
Dar açı a=2x+6 olsun. Geniş açı 2a+18’dir ve iki açı bütünlerdir: a+2a+18=180. a=54°; 2x+6=54 olduğundan x=24 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 18
Bir noktadan çıkan beş ışının ardışık açıları 2x°, (x+10)°, 3x°, (2x−20)° ve (4x+10)°’dir. Bu açılar tam açı oluşturduğuna göre en büyük açı kaç derecedir?
A) 120
B) 130
C) 140
D) 150
E) 160
Toplam 360°’dir: 2x+x+10+3x+2x−20+4x+10=360. 12x=360 ve x=30 bulunur. Açılar 60°, 40°, 90°, 40° ve 130° olduğundan en büyük açı 130°’dir.
Cevap: B
Dikkat
Paralellik işareti görülmeden yöndeş veya iç ters açı eşitliği kurulmaz. Kırık çizgili sorularda yardımcı paralel düşünmek güvenlidir; fakat taşınan açının kendisi mi, bütünleri mi kullanılıyor mutlaka kontrol edilir.
Doğruda açı sorularında güçlü çözüm, şeklin adını ezberlemekten değil, her adımda hangi paralellik veya doğru açı bağıntısının kullanıldığını izlemekten gelir. Bu temel, üçgende açılar konusundaki dış açı ve yardımcı çizim çalışmalarına doğrudan aktarılır.
