TYT dairenin çevresi ve alanı konu anlatımı; çemberin çevresini, yay uzunluğunu, dairenin ve daire diliminin alanını, daire halkasını ve boyalı bölge sorularını birlikte ele alır. Çember yalnız sınır çizgisini, daire ise bu sınırın iç bölgesiyle oluşturduğu bütünü ifade eder. Bu nedenle uzunluk sorularında birim, alan sorularında birimkare kullanılır.
ÇEMBERİN ÇEVRESİ VE YAY UZUNLUĞU
Çemberin Çevresi
Yarıçapı r olan çemberin çevresi 2πr, çapı d olan çemberin çevresi ise πd ile bulunur. Çap yarıçapın iki katı olduğundan bu iki ifade aynı bağıntının farklı yazılışlarıdır. Soruda π için özel bir değer verilmemişse sonuç π’li bırakılır. π=3 ya da π=22/7 denmişse işlem bu değerle tamamlanır.
Yarım ve Çeyrek Dairede Çevre
Bir şeklin çevresi, sınırını oluşturan bütün parçaların toplamıdır. Yarım dairenin dış sınırında yarım çember yayıyla çap birlikte bulunur; bu yüzden çevresi πr+2r olur. Çeyrek dairenin çevresi ise çeyrek yay ile iki yarıçapın toplamıdır: πr/2+2r. Yalnız yay uzunluğunu hesaplayıp düz kenarları unutmak, bu sorulardaki temel hatadır.
Merkez Açıya Göre Yay Uzunluğu
Tam çember 360° olduğundan α derecelik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu, çevrenin α/360 oranıdır. Buna göre yay uzunluğu=(α/360°)·2πr olur. Merkez açı büyüdükçe aynı çemberde gördüğü yay da aynı oranda büyür. Aynı çemberde iki yayın uzunluk oranı, bu yayları gören merkez açıların oranına eşittir.
Yay Uzunluklarında Oran
Aynı çemberde yay uzunlukları, bu yayları gören merkez açılarla doğru orantılıdır. Bu nedenle yarıçapı bulmaya gerek kalmadan iki yayın uzunluk oranı doğrudan merkez açıların oranından hesaplanabilir.
DAİRENİN VE DAİRE DİLİMİNİN ALANI
Dairenin Alanı
Yarıçapı r olan dairenin alanı πr²dir. Alan yarıçapın karesiyle değişir: Yarıçap iki katına çıkarsa alan dört katına, üç katına çıkarsa dokuz katına çıkar. Çevre ise yarıçapla doğrusal değişir. Bu ayrım, oran sorularında çevre oranı ile alan oranının karıştırılmasını önler.
Daire Diliminin Alanı
İki yarıçap ile bu yarıçapların uçlarını birleştiren yayın sınırladığı bölgeye daire dilimi denir. α derecelik merkez açıya ait dilimin alanı, bütün daire alanının α/360 oranıdır: dilim alanı=(α/360°)·πr². Aynı dairede dilim alanlarının oranı merkez açıların oranına eşittir.
Yay Uzunluğu ile Dilim Alanı İlişkisi
Bir daire diliminde yay uzunluğu L ve yarıçap r biliniyorsa alan, merkez açıyı ayrıca bulmadan hesaplanabilir. Yay uzunluğu L=(α/360°)·2πr ve dilim alanı A=(α/360°)·πr² olduğundan A=L·r/2 elde edilir. Bu bağıntı yalnız L’nin dilime ait yay uzunluğu olduğu durumda kullanılır; dilimin toplam çevresiyle karıştırılmaz.
Daire Parçasının Alanı
Bir kiriş ile bu kirişin gördüğü yay arasında kalan bölgeye daire parçası denir. Küçük daire parçasının alanı, ilgili daire diliminin alanından iki yarıçap ve kirişin oluşturduğu üçgenin alanı çıkarılarak bulunur. Büyük daire parçası istenirse küçük parçanın alanı bütün dairenin alanından çıkarılır.
DAİRE HALKASI VE BİLEŞİK ALANLAR
Daire Halkasının Alanı
Ortak merkezli iki daire arasında kalan bölgeye daire halkası denir. Dış yarıçap R, iç yarıçap r ise halkanın alanı büyük daireden küçük dairenin çıkarılmasıyla π(R²−r²) bulunur. R−r yalnız halkanın kalınlığıdır; alanı doğrudan vermez. Özdeş daireler, iç içe çemberler ve boru kesiti sorularında bu fark yaklaşımı kullanılır.
Boyalı Bölge ve Bileşik Şekiller
Boyalı bölge sorularında tek bir ezber bağıntı yerine şeklin hangi temel bölgelerden oluştuğu belirlenir. Büyük bölgeden küçük bölge çıkarılabilir, özdeş parçalar toplanabilir veya kare–dikdörtgen–üçgen alanları daire alanıyla birlikte kullanılabilir. Çember bir çokgenin içine ya da dışına yerleştirildiğinde yarıçapı önce çokgenin kenar, köşegen veya yüksekliğinden bulmak gerekebilir.
Çevre ve Alanın Birlikte Kullanıldığı Sorular
Bir şekil dairesel yaylarla doğru parçalarını birlikte taşıyabilir. Önce çevreyi oluşturan parçalar, sonra alanı oluşturan bölgeler ayrı ayrı belirlenmelidir. Aynı yarıçaplı iki yarım dairenin yayları birleştiğinde bir tam çember çevresi kadar uzunluk verir; fakat aradaki düz parçalar çevreye ayrıca eklenir.
Önceki konu: Çemberde Kiriş, Teğet ve Uzunluk Bağıntıları
Sonraki konu: Prizmalar ve Küp