TYT ÇEMBERDE KİRİŞ, TEĞET VE UZUNLUK BAĞINTILARI

TYT çemberde kiriş, teğet ve uzunluk bağıntıları konu anlatımı; merkezden kirişe uzaklık, teğet parçaları, noktanın çembere göre kuvveti ve teğet çemberler arasındaki ilişkileri bir araya getirir. Sorularda yalnız formülü bilmek yetmez; çarpıma giren parçaların başlangıç ve bitiş noktalarını şekil üzerinde doğru okumak gerekir.

KİRİŞ VE MERKEZ BAĞINTILARI

Merkezden Kirişe İndirilen Dikme

Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eş parçaya ayırır. AB kirişi için OM dik AB ise AM=MB=AB/2 olur. OMA dik üçgeninde OA=r, OM=d ve AM=a/2 olduğundan r²=d²+(a/2)² bağıntısı elde edilir. Bu ilişki; yarıçap, kiriş uzunluğu ve merkezin kirişe uzaklığından ikisi verildiğinde üçüncüyü bulmayı sağlar.

Eşit Kirişler ve Merkeze Uzaklık

Aynı çemberde eşit uzunluktaki kirişlerin merkeze uzaklıkları eşittir. Tersi de geçerlidir: Merkeze eşit uzaklıktaki kirişler eşit uzunluktadır. Kiriş uzadıkça merkeze yaklaşır; çemberin en uzun kirişi olan çapın merkeze uzaklığı sıfırdır. Dolayısıyla iki kiriş karşılaştırılırken büyük olan kiriş, merkeze daha yakın olandır.

TEĞET BAĞINTILARI

Teğet Noktasındaki Yarıçap

Çemberle yalnız bir ortak noktası bulunan doğruya teğet denir. Teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir. T teğet noktasıysa OT dik PT olur ve OPT üçgeni dik üçgendir. Bu yapı, dış noktadan teğet uzunluğu sorularını Pisagor bağıntısına dönüştürür: PT²=OP²−r².

Dış Noktadan Çizilen Eş Teğetler

Çember dışındaki aynı P noktasından çembere çizilen iki teğet parçasının uzunlukları eşittir. Teğet noktaları A ve B ise PA=PB olur. OP doğrusu ayrıca AOB açısını ve APB açısını iki eş parçaya ayırır. Bunun nedeni OAP ve OBP dik üçgenlerinin hipotenüsleri ortak, yarıçapları eşit olduğundan eş olmasıdır.

Teğet Parçaları ve Üçgende Çevre

Bir üçgenin içine çizilen çember üç kenara teğettir. Aynı köşeden teğet noktalarına uzanan parçalar eşit olduğundan kenarlar x+y, y+z ve z+x biçiminde yazılabilir. Üçgenin çevresi 2(x+y+z), yarı çevresi ise x+y+z olur. A köşesinden çıkan iki teğet parçasının ortak uzunluğu, s−a biçiminde de bulunabilir; burada s yarı çevre, a ise A’nın karşısındaki kenardır.

Teğetler Dörtgeni

Bütün kenarları aynı çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir. Her köşeden çıkan eş teğet parçaları toplandığında karşılıklı kenarların toplamlarının eşit olduğu görülür: AB+CD=BC+AD. Bu eşitlik yalnız dört kenarın da aynı çembere teğet olduğu durumda kullanılır.

ÇEMBERDE KUVVET VE TEĞET ÇEMBERLER

Kesişen Kirişler

Çemberin içinde P noktasında kesişen AB ve CD kirişleri için P’nin iki kiriş üzerindeki parça uzunluklarının çarpımları eşittir: PA·PB=PC·PD. Eşitlikte aynı doğru üzerindeki iki parça birlikte çarpılır. Parçaların toplanarak tam kirişe dönüştürülmesi gerekmez; P içte olduğu için dört uzunluk da P’den çember sınırına kadardır.

Dış Noktadan Çizilen İki Kesen

Çember dışındaki P noktasından geçen iki kesen için her kesende dış parça ile bütün kesen çarpılır. P-A-B ve P-C-D doğrusal sıralamalarında bağıntı PA·PB=PC·PD’dir. Burada PB ve PD, P’den kesenin çemberden çıktığı uzak noktaya kadar olan tam uzunluklardır. En sık hata, dış parçayı çemberin içindeki parçayla çarpmaktır.

Teğet ve Kesen

Aynı dış P noktasından bir teğet ve bir kesen çizildiğinde teğet uzunluğunun karesi, kesenin dış parçası ile bütün uzunluğunun çarpımına eşittir: PT²=PA·PB. Teğet iki kez aynı doğru parçası olarak çarpıldığı için karesi alınır. Kesen tarafında ise yine dış parça ile bütün kesen kullanılır.

Teğet Çemberlerde Merkez Uzaklığı

Dıştan teğet iki çemberde merkezler ve teğet noktası aynı doğru üzerindedir; merkezler arası uzaklık yarıçapların toplamıdır: d=r₁+r₂. İçten teğet iki çemberde ise merkezler arası uzaklık yarıçapların mutlak farkıdır: d=|r₁−r₂|. Çemberler kesişiyorsa |r₁−r₂|<d<r₁+r₂, birbirinden ayrıysa d>r₁+r₂ olur.