TYT üçgende alan konu anlatımı; taban–yükseklik ilişkisini, iki kenar ve aralarındaki açıyla alan hesabını, alan oranlarını, paraleller arasında alanı, açıortay–kenarortay bağlantılarını ve benzer üçgenlerde alan değişimini kapsar. Alan sorularında uzunlukları tek tek bulmak yerine ortak taban, ortak yükseklik ve alan oranlarını görmek çoğu zaman işlemi belirgin biçimde kısaltır.
ÜÇGENDE ALANIN TEMELİ
Taban ve Yükseklikle Alan
Bir üçgenin alanı, seçilen bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. BC=a ve A köşesinden BC doğrusuna indirilen dikmenin uzunluğu ha ise Alan(ABC)=a·ha/2 olur. Taban olarak hangi kenar seçilirse seçilsin sonuç değişmez.
Dar açılı üçgende yükseklik ayağı kenar üzerinde, dik üçgende iki dik kenar üzerinde, geniş açılı üçgende ise bazı yükseklikler kenarın uzantısı üzerinde bulunur. Buna rağmen yükseklik daima seçilen tabanın doğrusuna olan dik uzaklıktır.
Dik, İkizkenar ve Eşkenar Üçgende Alan
Dik üçgende dik kenarlar birbirine ait yükseklik olduğundan alan, dik kenarların çarpımının yarısıdır. Eş kenarları a olan ikizkenar üçgende taban b ise tepeden inen yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır ve Pisagor’dan h=√(a²−b²/4) bulunur. Kenarı a olan eşkenar üçgende yükseklik a√3/2, alan ise a²√3/4’tür.
İki Kenar ve Aralarındaki Açıyla Alan
İki kenar ve bu kenarların arasındaki açı biliniyorsa yükseklik ayrıca bulunmadan Alan=(b·c·sin A)/2 yazılır. Benzer şekilde Alan=(a·c·sin B)/2=(a·b·sin C)/2 olur. Kullanılan açı mutlaka formüldeki iki kenarın arasında kalmalıdır.
| Bilinenler | Alan bağıntısı |
|---|---|
| Taban a, yükseklik ha | a·ha/2 |
| Kenarlar b, c ve aradaki A açısı | (b·c·sin A)/2 |
| Eşkenar üçgende kenar a | a²√3/4 |
ALAN ORANLARI VE PAYLAŞTIRMA
Ortak Yükseklikte Alan Oranı
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları taban uzunluklarıyla orantılıdır. A köşesinden BC tabanına çizilen AD doğrusu, ABC üçgenini ABD ve ADC üçgenlerine ayırıyorsa iki küçük üçgenin A’dan BC’ye yüksekliği ortaktır. Bu nedenle Alan(ABD)/Alan(ADC)=BD/DC olur.
Ortak Taban ve Paraleller Arasında Alan
Tabanları aynı, üçüncü köşeleri tabana paralel bir doğru üzerinde bulunan üçgenlerin yükseklikleri eşittir; dolayısıyla alanları da eşittir. Bu özellik “alan kaydırma” sorularının temelidir. Tepe noktası tabana paralel doğru üzerinde yer değiştirirken taban ve yükseklik değişmediği için alan sabit kalır.
Kenarortay, Ağırlık Merkezi ve Alan
Kenarortay, karşı kenarı iki eş parçaya ayırdığı için üçgeni eş alanlı iki bölgeye böler. Üç kenarortayın birlikte çizilmesiyle oluşan altı küçük üçgenin alanları eşittir. Ağırlık merkezi G için Alan(ABG)=Alan(BCG)=Alan(CAG)=Alan(ABC)/3 bağıntısı da bu paylaşımın sonucudur.
Açıortay ve Alan İlişkisi
AD, A açısının açıortayı ve D noktası BC üzerinde ise açıortay teoreminden BD/DC=AB/AC olur. ABD ve ADC üçgenlerinin A’dan BC’ye yükseklikleri ortak olduğundan alan oranı da aynı değere eşittir: Alan(ABD)/Alan(ADC)=BD/DC=AB/AC.
BENZERLİK VE İLERİ ALAN BAĞINTILARI
Benzer Üçgenlerde Alan Oranı
Benzer iki üçgende karşılıklı uzunlukların oranı k ise alanların oranı k²’dir. Alan oranı verildiğinde uzunluk oranına geçmek için karekök alınır. Örneğin alanları 25:49 olan benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları 5:7 oranındadır.
İç İçe Üçgenler ve Paralel Kesitler
DE ∥ BC olacak biçimde D∈AB ve E∈AC ise ADE ~ ABC’dir. AD/AB=AE/AC=DE/BC=k olduğundan Alan(ADE)/Alan(ABC)=k² olur. Trapez biçimindeki ara bölgenin alanı ise büyük üçgen alanından küçük üçgen alanı çıkarılarak bulunur.
Bileşik Alan Problemleri
Birden fazla doğru parçasıyla bölünmüş üçgenlerde tek bir formülü bütün şekle uygulamak yerine ortak yükseklikli veya ortak tabanlı parçalar aranır. Bilinen bir bölgenin alanı oran yoluyla komşu bölgelere aktarılır; gerektiğinde toplam alan, parçaların toplamı ya da büyük alandan çıkarma ile bulunur.