TYT ÜÇGENDE KENARORTAY VE AĞIRLIK MERKEZİ

TYT üçgende kenarortay ve ağırlık merkezi konu anlatımı; bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlayan kenarortayın özelliklerini, üç kenarortayın kesişimini, 2:1 oranını, alan ilişkilerini ve kenarortay uzunluğu bağıntısını kapsar. Kenarortay sorularında ilk kontrol, karşı kenarın gerçekten iki eş parçaya ayrılıp ayrılmadığıdır.

KENARORTAYIN TEMEL ÖZELLİKLERİ

Kenarortay ve Orta Nokta

Bir üçgende bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. ABC üçgeninde D, BC’nin orta noktasıysa BD=DC olur ve AD, A köşesinden çizilen kenarortaydır. Eş parça çentikleri veya açık bir orta nokta bilgisi yoksa, köşeden karşı kenara çizilen her doğru parçası kenarortay kabul edilemez.

Kenarortay iki eş taban oluşturduğu için ABC üçgenini alanları eşit iki üçgene ayırır: [ABD]=[ACD]. Bu alan eşitliği, iki küçük üçgenin A köşesinden BC doğrusuna yüksekliklerinin ortak olmasından kaynaklanır.

Kenarortay Uzunluğu Bağıntısı

ABC üçgeninde BC=a, AC=b, AB=c ve A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu V_a ise Apollonius bağıntısı

V_a²=(2b²+2c²-a²)/4

biçimindedir. Aynı bağıntı b²+c²=2(V_a²+a²/4) olarak da yazılabilir. Buradaki a, kenarortayın indiği karşı kenarın tamamıdır; yarısıyla karıştırılmamalıdır.

İkizkenar ve Eşkenar Üçgende Kenarortay

İkizkenar üçgende tepe köşesinden tabana çizilen kenarortay aynı zamanda açıortay, yükseklik ve tabanın orta dikmesidir. Eşkenar üçgende ise her köşeden çizilen kenarortay bu dört özelliği birden taşır. Bu özel sonuçlar, üçgenin ilgili kenar eşitlikleri kanıtlanmadan kullanılamaz.

AĞIRLIK MERKEZİ

Üç Kenarortayın Kesişimi

Bir üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi denir ve G harfiyle gösterilir. Üçgen homojen bir levha olarak düşünülürse G noktası denge noktasıdır. İki kenarortayın kesişimi bulunduğunda üçüncü kenarortay da aynı noktadan geçer.

Ağırlık Merkezinin 2:1 Oranı

Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeye yakın parça daha uzun olacak biçimde 2:1 oranında böler. AD kenarortayında A-G-D sıralaması varsa AG/GD=2/1, AG=2k, GD=k ve AD=3k olur. Buna göre AG=2AD/3, GD=AD/3’tür.

Ağırlık Merkezi ve Alanlar

Üç kenarortay birlikte çizildiğinde üçgeni alanları eşit altı küçük üçgene ayırır. Bu nedenle her küçük üçgenin alanı toplam alanın 1/6’sıdır. Yalnız bir kenarortay iki eş alan, G’den bir köşeye çizilen parçalar ise uygun ortak yükseklikler sayesinde alan oranları kurar.

Orta Tabanla 3–1–2 Oranı

Bir kenarortay, diğer iki kenarın orta noktalarını birleştiren orta tabanla kesildiğinde aynı doğru üzerinde köşeden başlayarak 3k–k–2k parçaları oluşur. Orta tabanın kenarortayı kestiği nokta ile G ağırlık merkezi birbirinden farklıdır; toplam kenarortay uzunluğu 6k’dır.

ÖZEL DURUMLAR VE BİRLEŞİK SORULAR

Dik Üçgende Hipotenüse Çizilen Kenarortay

Dik üçgende dik açı köşesinden hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Hipotenüsün orta noktası üç köşeye de eşit uzaklıktadır. Hipotenüs 2r ise kenarortay r olur. Ağırlık merkezi de bu kenarortayı 2:1 böldüğünden, dik köşeden ağırlık merkezine uzaklık hipotenüsün 1/3’üne eşittir.

Bir Noktanın Ağırlık Merkezi Olduğunu Anlama

Bir noktanın ağırlık merkezi olduğu yalnız şeklin ortasında görünmesinden anlaşılmaz. Noktanın iki kenarortayın kesişimi olduğu, bir kenarortayı 2:1 oranında böldüğü veya koordinatlarının üç köşenin koordinat ortalaması olduğu gösterilmelidir. Tek bir doğru üzerindeki 2:1 oranı, o doğrunun kenarortay olduğu bilinmiyorsa tek başına yeterli değildir.

Kenarortay, Oran ve Çevreyi Birlikte Kullanma

Birleşik sorularda önce orta nokta eşitliği, sonra ağırlık merkezinin 2:1 oranı kullanılmalıdır. Verilen uzunluk bir kenarortayın yalnız AG veya GD parçasıysa önce bütün kenarortay bulunur; çevre ya da başka bir üçgen bağıntısı bundan sonra devreye girer.