TYT olasılık konu anlatımı; rastgele deneylerin sonuçlarını saymayı, olaylar arasındaki ilişkileri kurmayı ve belirsizliği sayısal olarak değerlendirmeyi kapsar. Olasılık sorularının temeli yalnız formül ezberlemek değil, örnek uzayı eksiksiz kurup istenen olayı doğru tanımlamaktır.
Kombinasyon ve Binom Açılımı konusunda öğrenilen sayma teknikleri, eş olasılıklı sonuçların bulunduğu deneylerde pay ve paydayı belirler. Ancak bütün sonuçlar eş olasılıklı değilse doğrudan sonuç sayıları oranlanamaz; olayların kendi olasılıkları üzerinden işlem yapılır.
OLASILIĞIN TEMEL KAVRAMLARI
Deney, Çıktı, Örnek Uzay ve Olay
Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen, fakat gerçekleşebilecek sonuçları belirlenebilen işleme rastgele deney denir. Deney sonucunda elde edilen her bir değere çıktı; bütün çıktıların oluşturduğu kümeye örnek uzay denir ve genellikle E ya da S ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi olaydır.
- Örnek uzayın kendisi kesin olaydır.
- Boş küme imkânsız olaydır.
- Yalnız bir çıktı içeren olaya basit olay denir.
- Birden çok çıktı içeren olaya bileşik olay denir.
Üç kez para atıldığında örnek uzay sekiz sıralı çıktıdan oluşur. “Tam iki yazı gelmesi” olayı ise YYT, YTY ve TYY çıktılarından oluşur. Sıra sonuçları değiştiriyorsa YTY ile TYY aynı çıktı değildir.
Eş Olasılıklı Durumlarda Olasılık
Sonlu bir örnek uzaydaki bütün çıktılar eş olasılıklıysa A olayının olasılığı, A’yı gerçekleştiren çıktı sayısının bütün çıktıların sayısına oranıdır:
Her olay için 0 ≤ P(A) ≤ 1’dir. P(A) = 0 olayın imkânsız, P(A) = 1 ise kesin olduğunu gösterir. Zar, para ve iyi karıştırılmış kart sorularında eş olasılıklılık doğal kabul edilir. Fiziksel özellikleri farklı nesneler veya eş büyüklükte olmayan bölgeler söz konusuysa bu kabul ayrıca sorgulanmalıdır.
Tümleyen Olay
A olayının gerçekleşmediği bütün sonuçların oluşturduğu olaya A’nın tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir. A ile A’ aynı anda gerçekleşemez; birleşimleri örnek uzayın tamamıdır. Bu nedenle
“En az bir”, “hiçbiri değil”, “tamamı aynı değil” gibi ifadelerde tümleyen olay çoğu zaman doğrudan sayımdan daha kısadır. En az bir başarının tümleyeni hiç başarı olmaması; en az bir 6 gelmesinin tümleyeni hiçbir zarın 6 gelmemesidir.
Birleşim, Kesişim ve Ayrık Olaylar
A ∪ B, A veya B olaylarından en az birinin; A ∩ B ise ikisinin birlikte gerçekleşmesidir. Birleşim olasılığında kesişim iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılır:
A ∩ B = ∅ ise olaylar ayrıktır ve kesişim olasılığı 0’dır. Ayrık olaylar aynı deneyde birlikte gerçekleşemez. “A veya B” ifadesi, özellikle aksi belirtilmedikçe, ikisinin birlikte gerçekleştiği durumu da kapsayan birleşim anlamındadır.
SAYMA VE KOŞULLU OLASILIK
Sayma Yöntemleriyle Olasılık
Örnek uzayın sonuçları tek tek yazılamayacak kadar çoksa pay ve payda çarpma ilkesi, permütasyon veya kombinasyonla sayılır. Sıralı seçimin sonucu değiştirdiği durumda permütasyon; yalnız seçilen grubun önemli olduğu durumda kombinasyon kullanılır. Pay ve payda aynı sayma anlayışıyla kurulmalıdır.
Örneğin dokuz kişiden üç kişilik bir kurul rastgele seçiliyorsa bütün kurullar C(9,3) tanedir. Belirli sayıda kadın ve erkek isteniyorsa uygun kadın seçimi ile erkek seçimi çarpılır. Kuruldaki görevler ayrıca dağıtılmıyorsa aynı kişiler farklı sırada yeniden sayılmaz.
Koşullu Olasılık
B olayının gerçekleştiği biliniyorken A olayının olasılığına A’nın B’ye bağlı koşullu olasılığı denir. B bilgisi örnek uzayı B olayına daraltır:
Koşullu olasılıkta “hangi grubun içinden seçim yapıldığı” yeniden belirlenir. Bir öğrencinin gözlüklü olduğu biliniyorsa payda artık bütün sınıf değil, gözlüklü öğrenciler kümesidir. Sorudaki ek bilgi, yalnız istenen olayı değil örnek uzayı da değiştirir.
Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa olaylar bağımsızdır. Bağımsız A ve B olayları için P(A | B) = P(A) ve
olur. Yerine koymadan art arda nesne çekmek genellikle bağımlı, çekilen nesneyi geri koymak bağımsız deneyler oluşturur. Ayrık olmak ile bağımsız olmak aynı değildir: olasılıkları sıfırdan farklı iki ayrık olay, biri gerçekleştiğinde diğerini imkânsız kıldığı için bağımsız olamaz.
Ardışık Seçimler ve Olasılık Ağacı
Çok aşamalı deneylerde her dal, önceki aşamada gelinen durumun koşullu olasılığını taşır. Aynı yol üzerindeki olasılıklar çarpılır; aynı olayı gerçekleştiren farklı yolların olasılıkları toplanır. Yerine koymadan seçimde toplam nesne sayısı her adımda azalır ve ilk seçilen renge göre ikinci adımın dağılımı değişir.
Aşağıdaki ağaçta 3 kırmızı ve 2 mavi top bulunan torbadan yerine koymadan iki top çekilmektedir. İki kırmızı yolu (3/5) * (2/4) = 3/10, iki mavi yolu ise (2/5) * (1/4) = 1/10 olasılığa sahiptir.
TEKRARLI DENEYLER VE UYGULAMALAR
Tekrarlı Bağımsız Deneyler
Her denemede başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı 1 − p olan bağımsız bir deney n kez tekrarlandığında tam r başarı olasılığı
biçimindedir. Kombinasyon çarpanı, r başarının n deneme içindeki farklı konumlarını sayar. Bu model yalnız denemeler bağımsız ve her denemedeki başarı olasılığı sabitse kullanılabilir. En az bir başarı sorularında çoğu zaman 1 − (1 − p)n daha kısa yoldur.
Geometrik ve Deneysel Olasılık
Bir nokta uzunluk, alan veya hacim üzerinde eş biçimde seçiliyorsa geometrik olasılık kullanılır. İstenen bölgenin ölçüsü bütün bölgenin ölçüsüne oranlanır:
Deney çok sayıda tekrarlandığında bir olayın gerçekleşme sayısının toplam deney sayısına oranına deneysel olasılık denir. Tekrar sayısı arttıkça deneysel oran teorik olasılığa yaklaşma eğilimindedir; fakat sonlu sayıda denemede tam olarak eşit olması gerekmez.