TYT üslü sayılar, denklemler ve eşitsizlikler konu anlatımı kapsamında üslü ifade kavramı, negatif taban ve parantez kullanımı, sıfır ve negatif üsler, çarpma-bölme ve ortak çarpanla toplama-çıkarma kuralları, bilimsel gösterim, basamak sayısı ile üslü denklemler ve eşitsizlikler işlenecektir.
TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Üslü Sayıların Temeli
Taban, Üs ve Tekrarlı Çarpım
a bir gerçek sayı, n pozitif tam sayı olmak üzere an, n tane a sayısının çarpımıdır. Burada a taban, n ise üs veya kuvvettir. Örneğin 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81’dir. Üs, tabanın kaç kez yan yana çarpılacağını belirtir; a · n anlamına gelmez.
Bir sayının birinci kuvveti kendisidir: a1 = a. 1’in bütün tam sayı kuvvetleri 1’dir. Sıfırın pozitif tam sayı kuvvetleri de 0’dır. Ancak 00 bu düzeyde tanımsız kabul edilir.
Negatif Taban ve Parantez
Negatif tabanın kuvveti alınırken taban parantez içinde gösterilir. (−a)n ifadesi n çiftse pozitif, n tekse negatiftir. Buna karşılık −an ifadesinde üs yalnız a’ya aittir; kuvvet alındıktan sonra baştaki eksi uygulanır.
Örneğin (−2)4 = 16 iken −24 = −16’dır. Aynı şekilde (−2)3 = −8 ve −23 = −8 olduğundan tek üslerde sonuçlar aynı görünür. Bu benzerlik, parantezin önemsiz olduğu anlamına gelmez.
Sıfırıncı ve Negatif Kuvvet
a ≠ 0 olmak üzere a0 = 1’dir. Negatif üs, sayının çarpma işlemine göre tersini aldırır:
a−n = 1an
a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere kesirli bir tabanın negatif üssünde pay ile payda yer değiştirir: (ab)−n = (ba)n. Negatif üs sonucun negatif olduğunu değil, tabanın tersinin alınacağını gösterir.
2−3 + 4−2 işleminin sonucu kaçtır?
B) 18
C) 316
D) 14
E) 516
Üslü Sayılarda İşlemler
| İşlem | Kural | Koşul |
|---|---|---|
| Aynı tabanları çarpma | am * an = am+n | Tabanlar aynı |
| Aynı tabanları bölme | aman = am−n | a ≠ 0 |
| Kuvvetin kuvveti | (am)n = am*n | Üsler çarpılır |
| Çarpımın kuvveti | (a * b)n = an * bn | Üs her çarpana dağılır |
| Bölümün kuvveti | (ab)n = anbn | b ≠ 0 |
Aynı Tabanlı İfadelerde Çarpma ve Bölme
Aynı tabanlı kuvvetler çarpılırken üsler toplanır; bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. Tabanlar aynı değilse önce uygun dönüşümler yapılır. Örneğin 9 = 32 ve 27 = 33 yazılarak bütün ifadeler 3 tabanında birleştirilebilir.
Üs kuralları toplama ve çıkarma işlemlerine doğrudan uygulanmaz. am + an genel olarak am+n değildir.
(37 * 92)273 işleminin sonucu kaçtır?
B) 3
C) 6
D) 9
E) 27
Kuvvetin, Çarpımın ve Bölümün Kuvveti
Bir kuvvetin yeniden kuvveti alınırsa üsler çarpılır. Çarpım veya bölüm parantezinin kuvveti alınırken üs, parantez içindeki her çarpana uygulanır. (a + b)n ifadesinde ise üs terimlere dağıtılamaz; (a + b)2 ≠ a2 + b2’dir.
(23 * 52)2103 işleminin sonucu kaçtır?
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
Toplama, Çıkarma ve Ortak Çarpan
Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma yapılabilmesi için terimlerin aynı üslü çarpanı taşıması gerekir. am + am = 2am’dir. Üsler farklıysa küçük kuvvet ortak çarpan alınabilir: am + am+1 = am(1 + a).
Bu yöntem, büyük kuvvetleri hesaplamadan sadeleştirme sağlar. Sayısal değerleri doğrudan bulmaya çalışmak hem zaman kaybettirir hem de işlem hatası riskini artırır.
710 + 798 * 78 işleminin sonucu kaçtır?
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Bilimsel Gösterim ve Basamak Sayısı
Bilimsel Gösterimle İşlem
Çok büyük veya çok küçük pozitif sayılar a · 10n biçiminde yazılır. Bilimsel gösterimde 1 ≤ a < 10 ve n tam sayıdır. Virgül sola kaydırıldığında üs artar, sağa kaydırıldığında azalır. Örneğin 4 500 000 = 4,5 · 106; 0,00072 = 7,2 · 10−4 biçimindedir.
Bilimsel gösterimler çarpılırken katsayılar çarpılır, 10’un üsleri toplanır. Sonuçtaki katsayı 1 ile 10 arasında değilse virgül ve üs yeniden düzenlenir.
[(3 * 107) * (4 * 10−4)]6 * 102 işleminin sonucu kaçtır?
B) 20
C) 200
D) 2000
E) 20 000
10’un Kuvvetleri ve Basamak Sayısı
n pozitif tam sayı olmak üzere 10n, 1’in yanında n sıfır bulunan ve n + 1 basamaklı bir sayıdır. a · 10n biçimindeki bir tam sayıda a’nın basamak sayısı biliniyorsa sonuna eklenen sıfırlar hesaba katılır. Ancak a’nın sonunda zaten sıfır varsa veya ifade henüz bilimsel gösterim biçiminde değilse önce sayı düzenlenmelidir.
2 ve 5 çarpanlarını eşleştirmek, 10’un kuvvetini ortaya çıkarır. Örneğin 2m · 5n ifadesinde küçük üs kadar 10 çarpanı oluşturulur; geriye büyük üs farkı kadar 2 veya 5 kuvveti kalır.
28 * 511 sayısı kaç basamaklıdır?
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Üslü Denklemler ve Eşitsizlikler
Tabanları Eşitleyerek Denklem Çözme
a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere af(x) = ag(x) ise f(x) = g(x)’tir. Tabanlar ilk bakışta farklıysa aynı sayının kuvvetleri biçimine dönüştürülür. Örneğin 4, 8 ve 16 sayıları sırasıyla 22, 23 ve 24 olarak yazılabilir.
Üslü denklemin iki tarafında katsayı veya toplam varsa üsleri hemen eşitlemek doğru değildir. Önce cebirsel düzenleme yapılarak iki tarafın gerçekten tek birer üslü ifade hâline gelmesi gerekir.
4x−1 = 82x−5 denkleminde x kaçtır?
B) 3
C) 134
D) 72
E) 4
Bir Sonucunu Veren Üslü Denklemler
a > 0 ve a ≠ 1 için af(x) = 1 ise f(x) = 0’dır. Taban 1 olduğunda bütün üsler sonucu 1 yapar. Taban −1 ise üssün tam sayı ve çift olması sonucu 1 verir. Tabanın veya üssün bilinmeyen olduğu sorularda bu özel durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.
Üslü Eşitsizlikler ve Sıralama
Taban 1’den büyükse üs arttıkça değer artar; dolayısıyla a > 1 için am < an ise m < n’dir. Taban 0 ile 1 arasındaysa üs arttıkça değer azalır ve üsler karşılaştırılırken eşitsizliğin yönü ters düşünülür.
Örneğin, 0 < 12 < 1 olduğundan, (12)x < (12)3 = 18 eşitsizliğinde x > 3 olur. x = 4 için (12)4 = 116 < 18; x = 2 için (12)2 = 14 > 18 elde edilir. Karşılaştırma için, 2x < 23 eşitsizliğinde taban 1’den büyük olduğu için üslerin sırası korunur ve x < 3 bulunur.
Farklı tabanlı ifadeler karşılaştırılırken mümkünse tabanlar veya üsler eşitlenir. Bu mümkün değilse sayılar ortak iki sınır arasına yerleştirilebilir. Negatif tabanlarda tek–çift üs ve işaret ayrıca kontrol edilmeden yalnız büyüklüklere bakılamaz.
Taban, İşaret ve Üs Birlikte Okunur
Üslü ifadelerde doğru işlem kadar ifadenin nasıl yazıldığı da önem taşır. Aynı tabana dönüştürme denklemi sadeleştirirken, eşitsizliklerde tabanın 1’den büyük ya da 0 ile 1 arasında oluşu yönü belirler. Bilimsel gösterimde ise sayı ne kadar büyük veya küçük olursa olsun katsayı 1 ile 10 arasında kalır; büyüklüğü asıl taşıyan bölüm 10’un kuvvetidir.