TYT mutlak değer konu anlatımı kapsamında mutlak değerin sayı doğrusundaki anlamı, temel özellikleri, mutlak değerli denklemler ve eşitsizlikler, birden fazla mutlak değer içeren ifadeler ve uzaklık koşullarına dayalı en küçük değer ve uygulama problemleri işlenecektir.
TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Mutlak Değerin Anlamı
Sayı Doğrusunda Uzaklık
|x − a|, x’in sayı doğrusunda a noktasına uzaklığıdır; bu nedenle ifadenin merkezi a’dır. |x + a| = |x − (−a)| eşitliği ikinci ifadenin merkezinin −a olduğunu gösterir. Uzaklık değeri negatif olamaz.
Parçalı Tanım ve İşaret İncelemesi
Mutlak değerin parçalı tanımı, içindeki ifadenin işaretine göre yapılır:
|x| = x, x ≥ 0 iken; |x| = −x, x < 0 iken.
Mutlak değer içindeki ifade pozitif veya sıfırsa aynen çıkar; negatifse işareti değiştirilerek çıkar. İçeride birden fazla terim varsa yalnız x’in değil, ifadenin tamamının işareti araştırılır. Örneğin |x − 4| için kritik değer 4’tür: x ≥ 4 bölgesinde x − 4, x < 4 bölgesinde 4 − x yazılır.
Temel Özellikler
Her gerçek x, y sayısı ve y ≠ 0 için aşağıdaki özellikler geçerlidir:
- |x| ≥ 0 ve |x| = 0 ise x = 0’dır.
- |x| = |−x| ve |x|² = x²’dir.
- |x * y| = |x| * |y| ve |xy| = |x||y|’dir.
- |x + y| ≤ |x| + |y| eşitsizliğine üçgen eşitsizliği denir.
- ||x| − |y|| ≤ |x − y| bağıntısı iki uzaklık arasındaki farkın sınırını verir.
Toplamın mutlak değeri genel olarak mutlak değerlerin toplamına eşit değildir. Örneğin |3 + (−3)| = 0 iken |3| + |−3| = 6’dır. Eşitlik ancak terimlerin aynı yönde olması gibi uygun işaret koşullarında gerçekleşir.
Mutlak Değerli Denklemler
|f(x)| = a Biçimindeki Denklemler
|f(x)| = a denkleminde sağ tarafın işareti belirleyicidir. a < 0 ise mutlak değer negatif olamayacağı için çözüm yoktur. a = 0 ise yalnız f(x) = 0 çözülür. a > 0 ise f(x) = a veya f(x) = −a olmak üzere iki olasılık incelenir.
Bulunan kökler başlangıç denkleminde kontrol edilmelidir. Özellikle mutlak değer içinde payda, köklü ifade veya başka bir kısıt varsa tanım koşulları ayrıca korunur.
|3x − 5| = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
B) 83
C) 103
D) 4
E) 143
İç İçe Mutlak Değer Denklemleri
İç içe mutlak değerlerde çözüm dıştan içe doğru yapılır. Önce en dıştaki mutlak değer iki duruma ayrılır; ardından oluşan her denklemde içteki mutlak değer çözülür. Aynı kökün farklı dallardan tekrar gelebileceği unutulmamalı ve sonuç kümesi tekrarsız yazılmalıdır.
İki Mutlak Değerin Eşitliği
|f(x)| = |g(x)| denkleminde iki ifade sayı doğrusunda sıfıra eşit uzaklıktadır. Bu nedenle f(x) = g(x) veya f(x) = −g(x) yazılır. Her iki dal çözülür; fakat paydalı ifadelerde tanımsız değerler sonuçtan çıkarılır.
|2x − 1| = |x + 5| denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
B) 4
C) 133
D) 143
E) 163
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Bir Merkezin İçinde Kalan Değerler
a > 0 olmak üzere |x| < a eşitsizliği −a < x < a; |x| ≤ a eşitsizliği −a ≤ x ≤ a biçimindedir. Çözüm, sıfıra uzaklığı a’dan küçük olan sayıların oluşturduğu tek bir aralıktır. Genel biçimde |x − m| < r, merkezi m ve yarıçapı r olan açık aralığı; ≤ ise kapalı aralığı verir.
Bir Merkezin Dışında Kalan Değerler
a > 0 iken |x| > a eşitsizliği x < −a veya x > a; |x| ≥ a eşitsizliği x ≤ −a veya x ≥ a biçiminde çözülür. Burada çözüm iki ayrı ışından oluşur. Sağ taraf negatifse |f(x)| > negatif sayı bütün tanımlı değerler için doğru, |f(x)| < negatif sayı ise hiçbir gerçek sayı için doğru değildir.
Kritik Noktalar ve Parçalı Çözüm
Bir ifadede birden fazla mutlak değer varsa her mutlak değerin içini sıfır yapan değerler bulunur ve sayı doğrusu bu kritik noktalardan bölgelere ayrılır. Her bölgede işaretler sabit olduğundan mutlak değerler uygun biçimde açılır. Bölgeden elde edilen sonuç yalnız o bölgenin koşuluyla birlikte geçerlidir.
|x − a| + |x − b| ifadesi, x noktasının a ve b noktalarına uzaklıkları toplamıdır. a < b ise x, [a, b] aralığındayken bu toplam b − a değerine eşittir ve en küçük değerini alır. Bu yorum uzun parçalı işlemleri önemli ölçüde kısaltır.
Uzaklık Koşullarıyla Model Kurma
Bir ölçümün hedef değerden belirli miktarda sapmasına izin verilmesi mutlak değerle modellenir. “Hedef değerden en çok r kadar farklı” ifadesi |x − hedef| ≤ r, “r’den daha fazla farklı” ifadesi |x − hedef| > r biçimindedir. Birden çok koşul varsa bulunan aralıkların kesişimi alınır.
a < 0 ise |f(x)| = a eşitliğini sağlayan bir x yoktur; çünkü mutlak değer negatif olamaz.
a > 0 ve mutlak değerin içi x − m biçimindeyse, aşağıdaki kurallar uygulanır:
- |x − m| < a ise m − a < x < m + a olur.
- |x − m| ≤ a ise m − a ≤ x ≤ m + a olur.
- |x − m| > a ise x < m − a veya x > m + a olur.
- |x − m| ≥ a ise x ≤ m − a veya x ≥ m + a olur.
İçeride genel bir f(x) ifadesi varsa, |f(x)| < a eşitsizliği −a < f(x) < a biçiminde yazılır. x için çözüm birden fazla aralık olabilir. Örneğin |x² − 4| < 1 eşitsizliğinin çözümü (−√5, −√3) ∪ (√3, √5) olur.
Birden fazla mutlak değer içeren eşitsizliklerde, işaretleri kaldırmadan önce her mutlak değerin içini sıfır yapan noktalar bulunur.
Sonraki konu: Üslü Sayılar, Denklemler ve Eşitsizlikler