TYT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER VE DENKLEM SİSTEMLERİ

TYT Birinci Dereceden Denklemler ve Denklem Sistemleri konu anlatımı kapsamında bir bilinmeyenli denklemler, özdeşlik ve çelişki durumları, kesirli denklemler, formüllerde bilinmeyeni yalnız bırakma, denklem sistemleri ve TYT tipi modelleme problemleri işlenecektir.
TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Denklem, Bilinmeyen ve Çözüm Kümesi

a ve b gerçek sayı, a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 biçimindeki eşitliğe birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi doğru yapan x değerleri çözüm kümesini oluşturur. Bu temel biçimde tek çözüm x = −ba‘dır.

Bir denklemin iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya iki taraftan aynı sayı çıkarılabilir. İki taraf sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir ya da bölünebilir. Bu işlemler eşitliğin dengesini korur; ancak bilinmeyen içeren bir ifadeye koşulsuz bölme yapmak bazı çözümleri kaybettirebilir.

Denklem Çözümünde İşlem Sırası

Denklem çözümünde önce varsa tanım koşulları belirlenir. Ardından parantezler açılır, kesirler uygun ortak payda ile kaldırılır ve benzer terimler toplanır. Bilinmeyenli terimler bir tarafta, sabit terimler diğer tarafta toplandıktan sonra bilinmeyenin katsayısına bölünür.

“Terimi karşı tarafa atınca işareti değişir” ifadesi bir kısa yoldur. Gerçekte eşitliğin iki tarafına aynı ters işlem uygulanır. Bu mantık bilinirse karmaşık işaretlerde ve kesirli ifadelerde hata olasılığı azalır. Bulunan değer başlangıç denkleminde yerine yazılarak doğrulanmalıdır.

Çözüm Kümesinin Özel Durumları

Tek Çözüm, Sonsuz Çözüm ve Çözümsüzlük

Denklem düzenlendiğinde ax = b biçimi elde edilir. a ≠ 0 ise tek çözüm vardır. a = 0 ve b = 0 ise 0 = 0 özdeşliği oluşur; denklem her gerçek sayı için doğrudur ve çözüm kümesi R’dir. a = 0, b ≠ 0 ise 0 = b gibi bir çelişki ortaya çıkar; çözüm kümesi boş kümedir.

Parametreli denklemlerde bilinmeyenin katsayısını sıfır yapan değer özel olarak incelenmelidir. Doğrudan katsayıya bölmek, tam da sonsuz çözüm veya çözümsüzlük doğuran durumu gözden kaçırır.

Tanım Koşulu ve Geçersiz Kök

Paydalı bir denklemde paydayı sıfır yapan değerler işlemden önce dışlanır. Ortak payda ile çarpma işlemi denklemi sadeleştirir; fakat başlangıçtaki tanım koşulunu ortadan kaldırmaz. Bulunan değer yasaklıysa çözüm kümesine alınmaz.

Birinci dereceden görünen bazı rasyonel denklemlerde sadeleştirme sırasında ortak çarpan yok olabilir. Ortak çarpanın sıfır olduğu değer başlangıç ifadesini tanımsız yapıyorsa, sadeleşmiş eşitliği sağlasa bile geçerli kök değildir.

Örnek: (x + 1)/(x − 1) = 2/(x − 1). Paydayı sıfır yapan değer x − 1 = 0, yani x = 1 olduğundan tanım koşulu x ≠ 1’dir. Bu koşulda x − 1 sıfır değildir; denklemin iki tarafı x − 1 ile çarpılır: x + 1 = 2. Buradan x = 1 adayı bulunur. Ancak x = 1 tanım koşulunu sağlamadığı için elenir; denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Denklem Kurma ve Formüller

Sözel İfadeyi Denkleme Çevirme

Bir problemde bilinmeyen nicelik açıkça tanımlanmalı ve bütün ifadeler aynı bilinmeyen cinsinden yazılmalıdır. “Bir sayının 4 fazlasının 3 katı” 3(x + 4), “bir sayının 3 katının 4 fazlası” ise 3x + 4’tür. Parantezin yeri iki ifadeyi birbirinden ayırır.

Ardışık sayılar x, x + 1, x + 2; ardışık çift veya tek sayılar x, x + 2, x + 4 biçiminde modellenebilir. Sayı basamakları, uzunluk, ücret ve miktar sorularında birimler eşitlenmeden denklem kurulmamalıdır.

Bir Formülde Bilinmeyeni Yalnız Bırakma

Birden fazla harf içeren eşitliklerde hedef değişken bilinmeyen, diğer harfler sabit kabul edilir. Hedef değişkeni içeren terimler bir tarafta toplanır, ortak çarpan varsa paranteze alınır ve son olarak katsayıya bölünür.

Örneğin P = 2a + 2b eşitliğinde a yalnız bırakılırken önce 2b çıkarılır: P – 2b = 2a. Ardından 2’ye bölünerek a = P – 2b2 elde edilir. Bölme yapılan ifadenin sıfır olmaması gerektiği unutulmamalıdır.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Yerine Koyma Yöntemi

İki bilinmeyenli iki denklemde amaç, denklemlerden birini kullanarak bilinmeyenlerden birini diğeri cinsinden yazmak ve ikinci denklemde yerine koymaktır. Katsayısı 1 veya -1 olan bilinmeyeni yalnız bırakmak işlemleri kısaltır.

Bulunan ilk değer, bilinmeyenlerden yalnız birine aittir. Diğer değer mutlaka denklemlerden birinde yerine yazılarak bulunmalı ve ikili çözüm her iki eşitliği de sağlamalıdır.

Yok Etme Yöntemi

Yok etme yönteminde denklemlerden biri veya ikisi uygun sayılarla çarpılarak bir bilinmeyenin katsayıları eşit ya da zıt yapılır. Denklemler taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında bu bilinmeyen yok olur.

Bir denklem bir sayıyla çarpılırken yalnız seçilen terim değil, eşitliğin her iki tarafındaki bütün terimler çarpılmalıdır. Hangi bilinmeyenin daha küçük katsayılarla yok edilebildiği önceden seçilirse işlem yükü azalır.

Sistemlerde Çözüm Sayısı

a₁x + b₁y = c₁ ve a₂x + b₂y = c₂ denklemleri iki doğruyu temsil eder. Katsayı oranları farklıysa doğrular tek noktada kesişir ve sistemin tek çözümü vardır. x ve y katsayıları orantılı, sabitler aynı oranda değilse doğrular paraleldir ve çözüm yoktur. Üç oran da eşitse denklemler aynı doğruyu anlatır ve sonsuz çözüm vardır.

Oran kullanırken sıfır katsayılara dikkat edilmelidir. Daha güvenli yöntem, denklemlerden birinin diğerinin tam katı olup olmadığını ve sabit terimin de aynı katsayıyla çarpılıp çarpılmadığını doğrudan kontrol etmektir.

Şekildeki paneller soldan sağa tek çözüm, çözüm yok ve sonsuz çözüm durumlarını gösterir.

Tek çözüm (sol panel): x + y = 0 ve x − y = 0. Denklemleri toplarsak 2x = 0, dolayısıyla x = 0 olur; x − y = 0 denkleminde y = 0 bulunur. Doğruların tek ortak noktası (0, 0)’dır.

Çözüm yok (orta panel): x − 2y = −4 ve x − 2y = 1. İlk eşitliği ikinciden çıkarınca 0 = 5 çelişkisi çıkar. Doğruların eğimleri aynı, sabit terimleri farklı olduğu için kesişmezler.

Sonsuz çözüm (sağ panel): x − y = 0 ve 2x − 2y = 0. İkinci denklem birincinin 2 katıdır; denklemler aynı doğruyu verir. Her gerçek t için (t, t) iki denklemin de çözümüdür.

Denklem Sistemleriyle Problem Çözme

İki Koşulu Birlikte Modelleme

İki farklı nicelik ve iki bağımsız koşul bulunan problemlerde denklem sistemi doğal bir modeldir. Önce bilinmeyenler tanımlanır; sayı, ücret, uzunluk veya toplam değer ilişkileri ayrı denklemler hâlinde yazılır. Elde edilen çözümün problemdeki tam sayı, pozitiflik ve kapasite koşullarını sağlaması gerekir.

Toplam adet denklemi genellikle x + y biçimindedir. Toplam ücret, ağırlık veya puan denklemi ise her türün birim değerinin miktarıyla çarpılmasıyla kurulur. Sonuçlar yaklaşık bir kontrolle de doğrulanmalıdır.