Ondalık ve devirli ondalık sayılar, rasyonel sayıların günlük ölçümlerde, para hesaplarında ve sayısal karşılaştırmalarda en sık kullanılan gösterimleridir. TYT’de bu konu; virgülün yerini değiştiren işlem kurallarını ezberlemekten çok basamak değerini korumayı, kesir ile ondalık gösterim arasında geçiş yapmayı ve birbirine çok yakın sayıları doğru sıralamayı gerektirir.
Bu yazıda ondalık gösterimin yapısını, dört işlemi, sonlu ve devirli ondalıkları, kesre dönüştürme yöntemlerini, sıralama ve yaklaşık değer kurallarını ayrıntılı biçimde ele alacağız. Her bölümde işlem sonucunun büyüklüğünü kontrol etmeyi sağlayan kısa yolları da kullanacağız.
Ondalık Gösterimin Yapısı
Basamak Değeri ve Çözümleme
Ondalık gösterimde virgülün solu sayının tam kısmını, sağı ise kesir kısmını oluşturur. Virgülden sonraki ilk basamak onda birler, ikinci basamak yüzde birler, üçüncü basamak binde birler basamağıdır. Örneğin 7,304 sayısında 3 rakamının basamak değeri 0,3; 4 rakamının basamak değeri 0,004’tür.
Bir ondalık sayı, basamak değerlerinin toplamı biçiminde çözümlenebilir: 7,304 = 7 + 310 + 41000. Virgülden sonra sona eklenen sıfırlar sayının değerini değiştirmez; 2,5 = 2,50 = 2,500’dür. Buna karşılık virgül ile ilk anlamlı rakam arasındaki sıfırlar basamak değerini belirlediği için silinemez.
Kesirden Ondalık Gösterime Geçiş
Paydası 10, 100, 1000 gibi 10’un pozitif tam sayı kuvvetlerinden biri olan kesirler doğrudan ondalık biçimde yazılabilir. Payda bu biçimde değilse kesir sadeleştirildikten sonra payda uygun bir sayıyla genişletilebilir veya pay paydaya bölünebilir.
Örneğin 725 kesri 4 ile genişletilerek 28100 = 0,28 bulunur. Negatif kesirlerde işaret bütün ondalık sayıya aittir. İşlemin sonunda virgülden sonraki basamak sayısı ile paydadaki sıfır sayısı uyumlu olmalıdır.
Ondalık Sayılarda İşlemler
Toplama ve Çıkarma
Ondalık sayılar toplanırken veya çıkarılırken virgüller alt alta getirilir. Böylece aynı basamak değerindeki rakamlar birlikte işleme alınır. Gerekirse sayıların sonuna değer değiştirmeyen sıfırlar eklenebilir: 3,7 – 0,485 işlemi 3,700 – 0,485 biçiminde düzenlenir.
Virgülleri alt alta getirmeden yalnız son rakamları hizalamak, farklı basamak değerlerini birbirine karıştırır. Sonuç tahmini de önemlidir; 3,7’den yaklaşık 0,5 çıkarıldığında sonucun 3,2 çevresinde olması beklenir.
Çarpma ve Bölme
Çarpma işleminde sayılar önce virgül yokmuş gibi çarpılır. Çarpanların virgülden sonraki toplam basamak sayısı kadar basamak, sonuçta sağdan sola ayrılır. Örneğin 1,2 * 0,35 işleminde toplam üç ondalık basamak bulunduğundan 120 * 35 = 4200 sonucunun ondalık gösterimi 0,420 = 0,42 olur.
Bölmede bölen tam sayı yapılana kadar hem bölünenin hem bölenin virgülü aynı sayıda basamak sağa kaydırılır. 2,04 ÷ 0,12 işlemi bu nedenle 204 ÷ 12 biçimine dönüşür. Yalnız bölenin virgülünü kaydırmak sayılar arasındaki oranı değiştirir.
10’un Kuvvetleriyle İşlemler
Bir ondalık sayı 10, 100, 1000 gibi 10’un pozitif kuvvetleriyle çarpıldığında virgül sırasıyla bir, iki, üç basamak sağa; bu sayılara bölündüğünde aynı sayıda basamak sola kayar. Eksik basamaklar sıfırla tamamlanır.
Bu kural, virgülün rastgele taşınması değil sayının her basamağının değerinin 10 katına çıkması veya onda birine inmesidir. Bilimsel gösterim ve birim dönüşümlerinde işlem yönünü sonuç tahminiyle kontrol etmek gerekir.
Sonlu ve Devirli Ondalık Sayılar
Ondalık Açılımın Türünü Belirleme
Bir kesrin ondalık açılımının sonlu mu devirli mi olduğunu anlamadan önce kesir mutlaka sadeleştirilmelidir. En sade biçimdeki paydanın asal çarpanları yalnız 2 ve 5 ise payda 10’un bir kuvvetine dönüştürülebilir ve ondalık açılım sonlu olur. Paydada 2 ve 5 dışında bir asal çarpan bulunuyorsa açılım devirlidir.
Örneğin 940 kesrinin paydası 23 * 5 olduğundan sonlu; 730 kesrinin paydasında 3 çarpanı bulunduğundan devirlidir. Bu ölçüt yalnız sadeleştirilmiş kesre uygulanır.
Saf Devirli Ondalığı Kesre Çevirme
Virgülden hemen sonra başlayan rakam grubu sonsuza kadar tekrar ediyorsa sayı saf devirli ondalıktır. Tekrarlanan bölümün üzerine çizgi çekilir. x = 0,36 için devir iki basamaklı olduğundan eşitliğin iki tarafı 100 ile çarpılır: 100x = 36,36. İlk eşitlik çıkarıldığında 99x = 36 ve x = 3699 elde edilir.
Kısa yol olarak paya bir devir yazılır; paydaya devirdeki basamak sayısı kadar 9 konur ve kesir sadeleştirilir. Tam kısım varsa işlem yalnız kesir kısmına uygulanabilir veya tam sayı bileşik kesre dönüştürülerek sonuca eklenebilir.
Karma Devirli Ondalığı Kesre Çevirme
Virgülden sonra önce devretmeyen, ardından tekrar eden basamaklar bulunuyorsa sayı karma devirli ondalıktır. Dönüştürmede bütün sayıdan devretmeyen kısmın oluşturduğu sayı çıkarılır. Paydaya devir basamakları kadar 9, devretmeyen basamaklar kadar 0 yazılır.
Örneğin 1,236 için bütün basamakların oluşturduğu 1236’dan, devrin başlamasından önceki 12 çıkarılır; paydaya iki devir basamağı için 99 ve bir devretmeyen basamak için 0 yazılır. Böylece 1236 – 12990 = 6855 elde edilir.
Karşılaştırma ve Yaklaşık Değer
Ondalık Sayıları Sıralama
Ondalık sayılar karşılaştırılırken önce tam kısımlara bakılır. Tam kısımlar eşitse onda birler, yüzde birler ve sonraki basamaklar soldan sağa karşılaştırılır. Basamak sayıları farklıysa sayıların sonuna sıfır eklenebilir. Devirli sayıda ise tekrarın devam ettiği unutulmamalıdır.
Negatif ondalık sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür. Birbirine çok yakın sayıları sıralarken ilk farklı basamağı bulmak yeterlidir; sonraki basamaklar sıralamayı değiştirmez.
Yuvarlama ve TYT Tipi Uygulamalar
Bir ondalık sayı belirli bir basamağa yuvarlanırken bu basamağın hemen sağındaki rakama bakılır. Rakam 5 veya daha büyükse korunacak basamak bir artırılır; 5’ten küçükse değişmez. Yuvarlama, işlem sonucunu yaklaşık ifade eder ve eşitlik yerine bağlama göre “yaklaşık” anlamı taşır.
Ölçme ve para problemlerinde birimlerin aynı olması gerekir. Sonuç parça sayısı belirtiyorsa tam sayı koşulu, kapasite belirtiyorsa artan miktar ayrıca yorumlanmalıdır. Ondalık sayılarla işlem bittikten sonra sonucu başlangıç verileriyle yaklaşık kontrol etmek, virgülün yanlış yere yazılmasını kolayca ortaya çıkarır.
Ondalık Sayılarda Sonuç Kontrolü
Toplama ve çıkarmada virgüllerin aynı basamakta hizalandığı, çarpmada toplam ondalık basamak sayısının korunduğu, bölmede ise her iki sayının virgülünün eşit miktarda kaydırıldığı kontrol edilmelidir. Sonuç tahmini bu üç işlemde de güçlü bir denetim sağlar.
Devirli ondalık kesre çevrildiğinde bulunan kesrin yaklaşık değeri başlangıçtaki ondalık sayıyla karşılaştırılabilir. Sıralamada ilk farklı basamak, yuvarlamada ise korunacak basamağın hemen sağındaki rakam belirleyicidir. Bu kontroller, uzun işlemlerdeki küçük bir virgül hatasının bütün sonucu değiştirmesini önler.