Ardışık sayılar ve sayı örüntüleri, sayıların belirli bir kurala göre sıralanmasını inceler. TYT sorularında bazen doğrudan “ardışık üç tam sayı” ifadesi verilir, bazen de şekiller, satırlar, kutular veya günlük bir durum içinde artış kuralını öğrencinin bulması beklenir. Her iki soru türünün ortak noktası, terimler arasındaki değişimin cebirsel bir modele dönüştürülmesidir.
Bu konuda ardışık tam, tek ve çift sayıların gösterimini; terim sayısı ve toplam formüllerini; ortanca terim yaklaşımını ve düzenli sayı–şekil örüntülerinin genel terimini öğreneceğiz.
Ardışık Sayılar
Ardışık Tam Sayıların Gösterimi
Aralarında 1 fark bulunan ve belirli bir sırayla ilerleyen tam sayılara ardışık tam sayılar denir. n bir tam sayı olmak üzere ardışık üç tam sayı n – 1, n, n + 1 veya n, n + 1, n + 2 biçiminde yazılabilir. Birinci gösterimde ortadaki terim doğrudan n olduğu için toplam sorularında daha kullanışlıdır.
Ardışık iki tam sayının farkı 1 veya -1’dir. Biri tek, diğeri çift olduğundan çarpımları her zaman çifttir. Ardışık üç tam sayıdan biri mutlaka 3’ün katıdır; ayrıca içlerinden en az biri çifttir. Bu özellikler çarpım ve bölünebilme sorularında hesap yapmadan çıkarım sağlar.
Ardışık Tek ve Çift Sayılar
Ardışık tek sayılar ve ardışık çift sayılar arasında 2 fark vardır. Ardışık üç tek sayı 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3; ardışık üç çift sayı 2n – 2, 2n, 2n + 2 biçiminde yazılabilir. Ortanca terimi merkez alan gösterim, toplamı ve uç terimleri hızlı bulmayı sağlar.
“Ardışık iki sayı” ile “ardışık iki tek sayı” aynı şey değildir. İlkinde fark 1, ikincisinde fark 2’dir. Ayrıca ardışık tek veya çift sayıların işareti ayrıca belirtilmemişse negatif değerler de mümkündür.
Ortanca Terim ve Aritmetik Ortalama
Eşit aralıklarla ilerleyen tek sayıda terimin toplamı, terim sayısı * ortanca terim biçiminde bulunur. Ardışık beş sayının toplamı 80 ise ortanca terim 16’dır. Uçlardan eşit uzaklıktaki terim çiftlerinin toplamı daima ilk ve son terim toplamına eşittir.
Terim sayısı çift olduğunda tek bir ortanca terim yoktur; ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması dizinin ortalamasıdır. Eşit aralıklı her sonlu dizide aritmetik ortalama, ilk ve son terimin toplamının yarısıdır.
Terim Sayısı ve Ardışık Toplam
Terim Sayısını Bulma
İlk terimi a, son terimi l ve ortak farkı d olan eşit aralıklı dizide terim sayısı (l – a) / d + 1 formülüyle bulunur. Sonuç tam sayı çıkmıyorsa verilen son terim bu dizinin bir elemanı değildir. +1, hem ilk hem son terimin sayılmasından gelir.
Örneğin 7, 11, 15, …, 83 dizisinde ortak fark 4’tür. Terim sayısı (83 – 7) / 4 + 1 = 20 olur. Aynı yöntem azalan dizilerde farkın işaretine dikkat edilerek ya da mutlak fark kullanılarak uygulanabilir.
Eşit Aralıklı Dizilerin Toplamı
Eşit aralıklı bir dizinin toplamı (ilk terim + son terim) * terim sayısı / 2 ile bulunur. Formül, ilk ile son, ikinci ile sondan ikinci gibi eşleşen terimlerin aynı toplamı vermesine dayanır.
Ardışık tam sayılarda ortak fark 1, ardışık tek ve çift sayılarda 2’dir. Toplama başlamadan önce ilk ve son terimin gerçekten diziye ait olduğu ve terim sayısının doğru hesaplandığı kontrol edilmelidir.
Özel Ardışık Toplam Formülleri
İlk n doğal sayının toplamı 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2 biçimindedir. İlk n pozitif çift sayının toplamı 2 + 4 + … + 2n = n(n + 1), ilk n pozitif tek sayının toplamı ise 1 + 3 + … + (2n – 1) = n² olur.
Başlangıcı 1 olmayan bir toplam, iki toplamın farkı olarak bulunabilir. Örneğin 12 + 13 + … + 40 için 1’den 40’a kadar olan toplamdan 1’den 11’e kadar olan toplam çıkarılır. Bu yaklaşım uzun dizileri tek tek yazma gereğini ortadan kaldırır.
Sayı Örüntüleri
Sabit Artışlı Örüntülerde Genel Terim
Ardışık terimler arasındaki fark sabitse örüntü aritmetik yapıdadır. İlk terim a₁, ortak fark d ise n. terim aₙ = a₁ + (n – 1)d olur. Bu formülde n = 1 yazıldığında ilk terimin elde edilmesi, formülün hızlı kontrolüdür.
Bazen genel terim an + b biçiminde verilir. Buradaki a ortak farktır; b ise n = 0 için oluşacak yardımcı değerdir. İlk terim a + b olur. Dizi azalıyorsa ortak fark negatiftir.
Farkları Sabit Olmayan Örüntüler
Her örüntünün ardışık farkı sabit değildir. Farkların kendisi sabit artıyorsa ikinci fark incelenebilir. 2, 6, 12, 20, … dizisinde farklar 4, 6, 8, … biçiminde ilerler; terimler n(n + 1) kuralına uyar. 1, 4, 9, 16, … dizisi kare sayılardan oluşur ve n. terim n²’dir.
Bir örüntü için yalnız ilk birkaç terime bakılarak birden fazla kural üretilebilir. Soru, şekil veya bağlam yoluyla hangi kuralın amaçlandığını belirler. Seçilen kural bütün verilen adımları açıklamalı; yalnız son iki terime uymakla yetinmemelidir.
Satırlı ve Şekilli Örüntüler
Satırlı örüntülerde önce her satırdaki eleman sayısı, sonra ilk–son eleman veya toplam incelenir. n. satırda n eleman varsa ilk n satırdaki toplam eleman sayısı 1 + 2 + … + n olur. Her yeni adımda sabit sayıda değil, adım numarasına bağlı sayıda eleman ekleniyorsa doğrusal formül yerine üçgensel veya karesel toplam ortaya çıkabilir.
Şekilli örüntülerde ortak parçalar iki kez sayılmamalıdır. Önce ilk şeklin eleman sayısı, ardından her yeni adımda gerçekten eklenen eleman sayısı belirlenir. Eklenen miktar sabitse doğrusal; kendisi artıyorsa ikinci dereceden bir ilişki beklenir.
Örüntü Problemlerinde Denklem Kurma
Bir terimin değeri verilip sıra numarası soruluyorsa genel terim değere eşitlenir. Toplam veriliyorsa yalnız son terimi değil, terim sayısını da bilinmeyene bağlamak gerekir. Örneğin 5, 8, 11, … dizisinin son terimi 3n + 2; ilk n terimin toplamı ise n(5 + 3n + 2) / 2 biçiminde yazılır.
Tekrarlayan desenlerde periyot kullanılır. Renk veya sembol dizisi her k adımda tekrarlanıyorsa büyük sıra numarası k’ye bölünür ve kalan, periyot içindeki konumu verir. Kalan 0 olduğunda periyodun son elemanı seçilir.