Tek–çift ve pozitif–negatif sayılar, bir işlemin sonucunu hesaplamadan onun türü ve işareti hakkında karar vermeyi sağlar. TYT’de bu konu yalnız doğrudan sorulmaz; denklem, bölünebilme, üslü ifade, problem ve mantıksal çıkarım sorularında da bir kontrol aracı olarak kullanılır.
Teklik–çiftlik yalnız tam sayılar için anlamlıdır. Pozitiflik–negatiflik ise sıfır dışındaki gerçel sayıların sayı doğrusundaki konumunu belirtir. Bu iki sınıflandırma birbirinden bağımsızdır: -8 negatif ve çift, -5 negatif ve tek, 6 pozitif ve çift olabilir.
Tek ve Çift Sayılar
Tek ve Çift Sayının Tanımı
2 ile tam bölünebilen tam sayılara çift sayı denir ve n bir tam sayı olmak üzere 2n biçiminde gösterilir. 2 ile tam bölünemeyen tam sayılar tek sayıdır ve 2n + 1 ya da 2n – 1 biçiminde yazılabilir. Sıfır, 2 * 0 biçiminde yazılabildiği için çift sayıdır.
Bir tam sayının son basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise çift; 1, 3, 5, 7 veya 9 ise tektir. Negatiflik bu sınıflandırmayı değiştirmez: -14 çift, -7 tektir. Kesirli sayılarda ise tek–çift ayrımı yapılmaz; örneğin 4/2 sadeleşip 2 olduğu için çiftken 3/2 bir tam sayı değildir ve tek ya da çift olarak adlandırılamaz.
Toplama ve Çıkarmada Teklik–Çiftlik
İki tek sayının toplamı ve farkı çifttir. İki çift sayının toplamı ve farkı da çifttir. Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı veya farkı ise tektir. Başka bir deyişle toplama ve çıkarmada aynı türler çift, farklı türler tek sonuç verir.
Bu kurallar mod 2 düşüncesiyle de görülebilir: çift sayı 0, tek sayı 1 kalanı verir. 1 + 1 = 2’nin 2 ile bölümünden kalan 0; 1 + 0’ın kalanı 1’dir. Çok terimli bir toplamda tek terimlerin sayısı tekse sonuç tek, çiftse sonuç çifttir; çift terimler sonucu etkilemez.
Çarpmada Teklik–Çiftlik
Çarpımın tek olabilmesi için bütün çarpanların tek olması gerekir. Çarpanlardan en az biri çiftse çarpım çifttir. Bu güçlü kuralın tersi de kullanılabilir: bir çarpım tekse her çarpan kesinlikle tektir; bir çarpım çiftse en az bir çarpan çifttir, fakat hangisinin çift olduğu tek başına belirlenemez.
Bölme işleminde genel bir teklik–çiftlik kuralı kurulamaz. Çift bir sayının çift bir sayıya bölümü tek, çift veya tam sayı olmayan bir değer olabilir: 6/2 = 3, 8/2 = 4, 2/4 = 1/2. Bu nedenle bölümün tam sayı olduğu ayrıca bilinmeden tek–çift yorumu yapılmaz.
Kuvvet ve Faktöriyelde Teklik–Çiftlik
Pozitif tam sayı üslerinde tek sayının bütün kuvvetleri tek, çift sayının bütün kuvvetleri çifttir. Üs 0 olduğunda sıfırdan farklı her tabanın değeri 1 olur ve sonuç tektir. 0⁰ ise bu düzeyde tanımsız veya belirsiz kabul edildiğinden tek–çift sınıflandırmasına alınmaz.
Faktöriyelde 0! = 1 ve 1! = 1 tektir. n ≥ 2 olduğunda n! çarpımında 2 bulunduğu için sonuç çifttir. Negatif tam sayıların faktöriyeli temel TYT tanımında yoktur. Üssü negatif olan bir ifade de her zaman tam sayı vermeyebileceğinden doğrudan tek–çift diye adlandırılmaz.
Denklemlerden Teklik–Çiftlik Çıkarımı
Bir eşitlikte katsayısı çift olan terim her zaman çifttir; bu terim bilinmeyenin tek mi çift mi olduğunu tek başına göstermez. Örneğin 4a çifttir fakat a tek de çift de olabilir. Buna karşılık 3a’nın türü a ile aynıdır çünkü 3 tektir.
Kesinlik sorularında eşitliğin iki tarafı mod 2 bakımından karşılaştırılır. 4a + 3b = 2c + 1 denkleminde 4a ve 2c çift, sağ taraftaki +1 tek olduğundan 3b ve dolayısıyla b tektir. a ve c hakkında ise yeterli bilgi yoktur.
Pozitif ve Negatif Sayılar
Sıfırın Sağında ve Solunda Sayılar
Sayı doğrusunda sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir. x > 0 ise x pozitif, x < 0 ise negatiftir. Sıfır ne pozitif ne negatiftir; işaretsiz sınır değeridir.
İki negatif sayıyı karşılaştırırken sıfıra yakın olan daha büyüktür. Örneğin -3 > -8’dir. Mutlak değer, sayının sıfıra uzaklığını verdiği için negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.
Çarpma, Bölme ve Kuvvette İşaret
Çarpma ve bölmede aynı işaretler pozitif, farklı işaretler negatif sonuç verir. Çok sayıda çarpanın bulunduğu bir ifadede negatif çarpanların sayısı çiftse çarpım pozitif, tekse negatiftir. Çarpanlardan biri 0 ise bütün çarpım 0 olur ve işaret yorumu sona erer.
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Parantez bu noktada belirleyicidir: (-2)⁴ pozitif 16 iken -2⁴, üs önce alındığı için -(2⁴) = -16’dır. Pozitif bir sayının bütün tam sayı kuvvetleri, tanımlı olduğu sürece pozitiftir.
Toplam ve Farkın İşaretini Belirleme
Aynı işaretli iki sayının toplamının işareti bellidir: iki pozitifin toplamı pozitif, iki negatifin toplamı negatiftir. Farklı işaretli sayıların toplamında ise mutlak değeri büyük olan taraf belirleyicidir. Bu nedenle yalnız a < 0 < b bilgisi, a + b’nin işaretini belirlemeye yetmez.
Fark ifadelerinde sıralama doğrudan kullanılabilir. a < b ise a – b negatiftir, b – a pozitiftir. Eşitsizliğin iki tarafını negatif sayıyla çarparken veya bölerken yön değiştirmesi de bu işaret mantığının sonucudur.
Kareli İfadelerden İşaret Çıkarımı
Bir gerçel sayının karesi negatife eşit olamaz; x² ≥ 0’dır. x² > 0 ise x ≠ 0 olduğu anlaşılır fakat x’in pozitif mi negatif mi olduğu belirlenemez. x² = 0 ise kesinlikle x = 0’dır.
x² * y < 0 ve x ≠ 0 ise x² pozitif olduğundan y negatiftir. Benzer şekilde a² + b < 0 eşitsizliğinde a² ≥ 0 olduğu için b’nin negatif olması zorunludur ve hatta b < -a² olur. Sorularda önce işareti kesin olan kareli terimden başlamak belirsizliği azaltır.
Kesinlikle, Daima ve Olabilir Soruları
“Kesinlikle” ve “daima” ifadeleri, verilen bütün uygun değerlerde önermenin doğru olmasını ister. Tek bir karşı örnek önermeyi çürütür. “Olabilir” sorusunda ise koşulları sağlayan tek bir örnek bulmak yeterlidir. Bu nedenle belirsiz kalan değişkenlere yalnız bir değer verip kesin hüküm çıkarmak yanlıştır.
Teklik–çiftlikte iki olası tür, işaret sorularında negatif–sıfır–pozitif olasılıkları küçük bir tabloyla denenebilir. Ancak deneme değerleri verilen eşitlik ve eşitsizliklerin tamamını sağlamalıdır. Özellikle sıfırın pozitif veya negatif olmadığı unutulmamalıdır.
Sonraki konu: Ardışık Sayılar ve Sayı Örüntüleri