Birinci dereceden denklemler, bilinmeyenin en yüksek kuvvetinin 1 olduğu eşitliklerdir. KPSS Matematik sorularında yalnız x’i bulmak değil; çözüm kümesini belirlemek, parametreyi yorumlamak, payda kısıtını korumak, denklem sistemlerini çözmek ve sözel bilgiyi denkleme dönüştürmek gerekir.
Önceki Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler yazısında cebirsel ifadeleri düzenlemiş ve sadeleştirmiştik. Bu beceriler, denklem çözümünde bilinmeyeni yalnız bırakmayı kolaylaştırır. Sıradaki Oran ve Orantı konusu da eşitlik kurma ve içler-dışlar çarpımı üzerinden bu temeli kullanacaktır.
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM
ax + b = 0 Biçimini ve Denklem Kökünü Tanıma
a ve b gerçel sayılar, a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 biçimindeki eşitliğe birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi doğru yapan x değerine kök, köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir. Temel biçimde kök x = −b/a‘dır.
Bir eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklemek veya iki taraftan aynı sayıyı çıkarmak eşitliği bozmaz. Aynı şekilde iki taraf, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir ya da bölünebilir. “Terimi karşı tarafa geçirince işareti değişir” sözü, aslında eşitliğin iki tarafına aynı işlemin uygulanmasının kısa anlatımıdır.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
PARANTEZLİ DENKLEMLER
Dağılma Özelliğini Uygulayıp Benzer Terimleri Toplama
Parantezli bir denklemde önce parantezler dağılma özelliğiyle açılır. Eksi işareti veya negatif katsayı parantezin önündeyse parantez içindeki her terime uygulanır. Ardından iki taraftaki benzer terimler kendi aralarında birleştirilir.
Örneğin 2(3x − 4) − (x + 5) = 12 denkleminde sol taraf 6x − 8 − x − 5, yani 5x − 13 olur. İşlem sırası korunursa parantez kaynaklı işaret hataları azalır.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
PAYDALI DENKLEMLER VE TANIM KISITI
Paydaları Eşitlemeden Önce Yasak Değerleri Belirleme
Paydalı denklemlerde ilk adım, paydaları sıfır yapan değerleri çözüm adaylarından çıkarmaktır. Sonra eşitliğin iki tarafı paydaların ortak katıyla çarpılarak kesirlerden kurtulunur. Bu çarpma yalnız paydaların sıfır olmadığı değerlerde geçerlidir.
Örneğin 2x − 1 = 3 denkleminde x ≠ 1 koşulu yazılır. İki taraf x − 1 ile çarpılınca 2 = 3x − 3 ve x = 5/3 bulunur. Bulunan değer yasak değer olmadığı için kabul edilir.
| Adım | Yapılacak İşlem | Amaç |
|---|---|---|
| 1 | Paydaları sıfır yapan değerleri bulun. | Tanım kümesini belirlemek |
| 2 | Her iki tarafı paydaların ortak katıyla çarpın. | Kesirlerden kurtulmak |
| 3 | Oluşan denklemi çözün. | Aday kökleri bulmak |
| 4 | Adayları başlangıç denkleminde denetleyin. | Yasak veya geçersiz kökü elemek |
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
DENKLEMİN KÖKÜNDEN PARAMETRE BULMA
Verilen Kökü Bilinmeyen Yerine Yazma
Bir sayının denklemin kökü olduğu söyleniyorsa o sayı, bilinmeyenin yerine yazıldığında eşitliği sağlamalıdır. Böylece denklemdeki a, b, m veya k gibi parametreler için yeni bir eşitlik kurulur. Bu tür sorularda önce x yerine verilen kök yazılır, ardından parametre çözülür.
Denklemin birinci dereceden olma koşulu da ayrıca kontrol edilmelidir. Daha yüksek kuvvetli terimler varsa bu terimlerin katsayıları sıfır olmalı; x’in katsayısı ise sıfırdan farklı kalmalıdır.
B) −5
C) −4
D) −3
E) −2
TEK, SONSUZ VE BOŞ ÇÖZÜM KÜMESİ
Sadeleştirme Sonunda Kalan Eşitliği Yorumlama
Birinci dereceden denklem sadeleştirildiğinde üç farklı sonuç ortaya çıkabilir. x’in katsayısı sıfırdan farklı kalırsa tek kök vardır. Bilinmeyenler yok olup doğru bir eşitlik kalırsa denklem her gerçel sayı için sağlanır. Bilinmeyenler yok olup yanlış bir eşitlik kalırsa denklemi sağlayan sayı yoktur.
| Son Biçim | Çözüm Kümesi | Yorum |
|---|---|---|
| ax = b, a ≠ 0 | {b/a} | Tek elemanlı |
| 0 = 0 | ℝ | Sonsuz elemanlı |
| 0 = c, c ≠ 0 | ∅ | Boş küme |
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
İKİ BİLİNMEYENLİ BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM
Çözümü Sıralı İkili Olarak Gösterme
a ve b aynı anda sıfır olmamak üzere ax + by + c = 0 biçimindeki eşitlik, iki bilinmeyenli birinci dereceden denklemdir. Tek bir denklem genellikle sonsuz sayıda (x, y) sıralı ikilisi tarafından sağlanır. Bir ikilinin çözüm olup olmadığı, x ve y değerleri denklemde yerine yazılarak kontrol edilir.
Sıralı ikilide yer önemlidir. (2, 5), x = 2 ve y = 5 anlamına gelir; (5, 2) ile aynı değildir. Denklem sistemi verildiğinde aranan ikili, sistemdeki bütün denklemleri aynı anda sağlamalıdır.
B) (2, 1)
C) (3, 2)
D) (4, 1)
E) (5, 1)
YOK ETME YÖNTEMİ
Bir Bilinmeyenin Katsayılarını Zıt İşaretli Eşitleme
Yok etme yönteminde denklemlerden biri veya ikisi uygun sayılarla çarpılarak bir bilinmeyenin katsayıları zıt işaretli eşit hâle getirilir. Denklemler taraf tarafa toplandığında bu bilinmeyen yok olur. Bulunan değer, denklemlerden birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen elde edilir.
Katsayılar zaten zıt işaretliyse doğrudan toplama yapılabilir. Aynı işaretliyse denklemlerden biri −1 ile çarpılabilir veya taraf tarafa çıkarma kullanılabilir. Bütün denklem aynı sayıyla çarpılmalı; yalnız seçilen bir terim değiştirilmemelidir.
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
YERİNE KOYMA YÖNTEMİ
Bir Bilinmeyeni Diğeri Cinsinden Yazma
Denklemlerden birinde bilinmeyenlerden biri kolayca yalnız bırakılabiliyorsa yerine koyma yöntemi kullanışlıdır. Bulunan ifade diğer denklemde ilgili bilinmeyenin yerine yazılır. Böylece iki bilinmeyenli sistem, tek bilinmeyenli denkleme dönüşür.
Örneğin x = y + 4 ve 2x + y = 17 sisteminde ilk eşitlik ikinci denklemde kullanılır: 2(y + 4) + y = 17. Buradan önce y, ardından x bulunur. Sonuç iki başlangıç denkleminde de denetlenmelidir.
B) 12
C) 15
D) 18
E) 21
DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜM SAYISI
Katsayı Oranlarıyla Tek, Sonsuz veya Çözümsüz Durumu Belirleme
ax + by = c ve dx + ey = f sisteminde katsayılar orantılı değilse doğrular bir noktada kesişir ve tek çözüm vardır. x ve y katsayıları ile sabitler aynı orandaysa denklemler aynı doğruyu gösterir; sonsuz çözüm bulunur. Değişken katsayıları aynı oranda, sabitler farklı orandaysa doğrular paraleldir ve çözüm yoktur.
| Oran İlişkisi | Geometrik Durum | Çözüm Sayısı |
|---|---|---|
| a/d ≠ b/e | Kesişen doğrular | Tek çözüm |
| a/d = b/e = c/f | Çakışık doğrular | Sonsuz çözüm |
| a/d = b/e ≠ c/f | Paralel doğrular | Çözüm yok |
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ÇOK BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERDE KISA YOLLAR
İstenen İfadeyi Doğrudan Üretecek Biçimde Taraf Tarafa İşlem Yapma
Üç veya daha fazla bilinmeyen bulunduğunda her değişkeni ayrı ayrı çözmek her zaman gerekli değildir. Soruda istenen toplam, fark veya çarpan ilişkisi denklemlerin uygun biçimde toplanmasıyla doğrudan üretilebilir. Özellikle ikili toplamlar verildiğinde bütün denklemleri toplamak hızlı sonuç verir.
a + b = 18, b + c = 14 ve a + c = 16 eşitlikleri toplandığında 2a + 2b + 2c = 48 olur. Böylece değişkenleri tek tek bulmadan a + b + c = 24 elde edilir.
DENKLEM KURMA PROBLEMLERİ
Sözel veya Geometrik Bilgiyi Cebirsel Eşitliğe Dönüştürme
Denklem kurma sorularında bilinmeyen açıkça tanımlanır, verilen büyüklükler bu bilinmeyen cinsinden yazılır ve iki eşdeğer anlatım eşitlenir. Çevre, yaş, sayı, alışveriş ve uzunluk problemlerinde aynı temel süreç kullanılır. Sonucun, sorudaki pozitiflik veya tam sayı gibi koşulları sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir.
Dikdörtgende çevre 2 · (uzun kenar + kısa kenar) biçimindedir. Yaş problemlerinde herkesin yaşı aynı süre kadar artar veya azalır. Ardışık sayılarda sayılar x, x + 1, x + 2; ardışık çift sayılarda x, x + 2, x + 4 biçiminde gösterilebilir.
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERDE TEMEL NOKTALAR
- Parantezleri açarken katsayıyı ve eksi işaretini bütün terimlere dağıtmak gerekir.
- x’li terimleri bir tarafta, sabitleri diğer tarafta toplamak gerekir.
- Paydalı denklemde işlemlere başlamadan önce yasak değerleri belirlenir.
- Bulduğunuz kökü başlangıç denkleminde yerine yazarak doğrulamak gerekir.
- Verilen kökü kullanarak parametre arıyorsanız x yerine doğrudan bu değeri yazılır.
- Sadeleştirme sonunda 0 = 0 ile 0 = c durumlarını farklı yorumlamak gerekir.
- Sıralı ikilide x ve y değerlerinin yerini değiştirmemek gerekir.
- Yok etme yönteminde bir denklemi çarparken bütün terimleri aynı sayıyla çarpmak gerekir.
- Denklem sisteminde çözüm sayısını belirlerken sabit terim oranını da kontrol edilir.
- Problem sonucunun uzunluk, yaş, adet veya tam sayı koşullarına uygunluğunu sınamak gerekir.