Çarpanlara ayırma, toplama veya çıkarma biçimindeki cebirsel bir ifadeyi çarpım biçimine dönüştürme işlemidir. Özdeşlikler ise değişkenlerin uygun bütün değerlerinde doğru olan eşitliklerdir. KPSS Matematik sorularında bu iki konu; sadeleştirme, denklem çözme, en küçük değer bulma ve işlem hızını artırma amacıyla birlikte kullanılır.
Önceki Köklü Sayılar yazısında eşlenik ve iki kare farkından yararlanmıştık. Bu yazıda ortak çarpandan küp özdeşliklerine kadar temel yöntemleri sistemli biçimde ele alacağız. Sıradaki Birinci Dereceden Denklemler konusu da burada kurulan çarpım ve sadeleştirme becerisini kullanacaktır.
ÇARPANLARA AYIRMANIN ANLAMI
Dağılma Özelliğini Ters Yönde Kullanma
Dağılma özelliğinde bir çarpım açılır: a(b + c) = ab + ac. Çarpanlara ayırmada aynı eşitlik ters yönde okunur: ab + ac = a(b + c). İşlemin amacı, ifadenin değerini değiştirmeden onu daha kullanışlı bir çarpım biçimine getirmektir.
Bir çarpanlara ayırma işlemi, bulunan çarpanlar yeniden dağıtılarak kontrol edilebilir. Örneğin 3x(x − 2) açıldığında 3x² − 6x elde edilir. Başlangıç ifadesine dönülüyorsa ayırma doğrudur.
| İfadede Görülen Yapı | İlk Denenecek Yöntem | Kontrol |
|---|---|---|
| Bütün terimlerde ortak sayı veya değişken | Ortak çarpan parantezi | Parantezi dağıtın. |
| Dört ya da daha fazla terimde ikili ortaklıklar | Gruplandırma | Gruplardan aynı parantezin çıkıp çıkmadığına bakın. |
| İki kare arasında çıkarma | İki kare farkı | Eşlenik çarpanları açın. |
| Üç terimli ikinci dereceden ifade | Çarpım-toplam ilişkisi | Çarpanların orta terimi verip vermediğini sınayın. |
B) (y − 3)(5y + 2)
C) (5y + 3)(y − 2)
D) (y + 3)(5y + 2)
E) (y − 2)(5y − 3)
ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA
En Büyük Ortak Sayısal ve Cebirsel Çarpanı Bulma
Bütün terimleri bölen ortak sayı ile her terimde bulunan ortak değişkenler parantez dışına alınır. Değişkenin ortak kuvveti belirlenirken terimlerdeki en küçük üs seçilir. Örneğin 18a³b² − 12a²b³ ifadesinde sayıların ortak çarpanı 6, değişkenlerin ortak kısmı a²b² olduğundan sonuç 6a²b²(3a − 2b) olur.
İlk terimin işareti negatifse parantez dışına eksi almak işlemi kolaylaştırabilir: −x² + 4x = −x(x − 4). Eksi dışarı alındığında parantez içindeki bütün işaretlerin değiştiği unutulmamalıdır.
B) 12m²n
C) 12m³n
D) 24m²n²
E) 36m²n
GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA
Terimleri Ortak Parantez Oluşturacak Biçimde Eşleştirme
Bütün terimlerde tek bir ortak çarpan yoksa terimler uygun gruplara ayrılır. Her gruptan ortak çarpan çıkarıldıktan sonra aynı parantez oluşuyorsa bu parantez yeniden ortak çarpan olarak alınır. ax + ay + bx + by ifadesi a(x + y) + b(x + y), ardından (a + b)(x + y) olur.
Terimlerin yazılış sırası uygun değilse yerleri değiştirilebilir. Amaç, her gruptan aynı cebirsel ifadenin çıkmasını sağlamaktır. İşaretler uyuşmuyorsa a − b = −(b − a) dönüşümünden yararlanılır.
B) (3x − 5)(x + 2)
C) (x − 5)(3x + 2)
D) (3x + 2)(x − 5)
E) (x + 2)(3x + 5)
İKİNCİ DERECEDEN ÜÇ TERİMLİ İFADELER
x² + bx + c Biçiminde Çarpım ve Toplamı Kullanma
x² + bx + c ifadesi için çarpımları c, toplamları b olan iki sayı aranır. Bu sayılar m ve n ise x² + bx + c = (x + m)(x + n) olur. Sabit terim pozitifse sayıların işaretleri aynı; negatifse zıttır. Orta terimin işareti, toplamın işaretini belirler.
Örneğin x² − x − 12 ifadesinde çarpımı −12, toplamı −1 olan sayılar −4 ve 3’tür. Dolayısıyla ifade (x − 4)(x + 3) biçiminde ayrılır.
B) x − 6
C) x − 3
D) x + 2
E) x + 6
BAŞ KATSAYISI 1’DEN FARKLI ÜÇ TERİMLİLER
ax² + bx + c Biçiminde Orta Terimi Ayırma
ax² + bx + c ifadesinde a ile c çarpılır. Çarpımları ac, toplamları b olan iki sayı bulunur ve bx terimi bu iki parçaya ayrılır. Ardından gruplandırma uygulanır. Örneğin 6x² + 11x + 3 için ac = 18’dir; 9 + 2 = 11 olduğundan orta terim 9x + 2x yapılır. Sonuç 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) = (3x + 1)(2x + 3) olur.
Alternatif olarak iki parantezin ilk terimlerinin çarpımı ax²’yi, son terimlerinin çarpımı c’yi vermelidir. Çapraz çarpımların toplamı bx’i oluşturuyorsa seçilen çarpanlar doğrudur.
B) (4x + 1)(2x − 3)
C) (8x − 1)(x − 3)
D) (2x + 1)(4x − 3)
E) (8x − 3)(x − 1)
İKİ KARE FARKI ÖZDEŞLİĞİ
a² − b² = (a − b)(a + b)
İki tam karenin farkı, sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir: a² − b² = (a − b)(a + b). Orta terim yoktur; çünkü parantezler açıldığında +ab ile −ab birbirini götürür. 25x² − 49 = (5x − 7)(5x + 7) buna örnektir.
Özdeşlik art arda uygulanabilir. a⁴ − b⁴ önce (a² − b²)(a² + b²), sonra (a − b)(a + b)(a² + b²) olur. Gerçel sayılarda a² + b² genel olarak daha fazla ayrılamaz.
B) (3y − 2)(3y + 2)(9y² + 4)
C) (9y − 4)(9y + 4)
D) (3y − 2)²(3y + 2)²
E) (9y² − 4)²
TAM KARE ÖZDEŞLİKLERİ
Bir Toplamın ve Farkın Karesini Tanıma
| Özdeşlik | Açılım | Ayırt Edici Orta Terim |
|---|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² | +2ab |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² | −2ab |
| (a + b + c)² | a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc | Her ikili çarpımın iki katı |
Üç terimli bir ifadenin tam kare olabilmesi için ilk ve son terimler kare olmalı, orta terim de bu kareköklerin çarpımının iki katını vermelidir. 9x² − 24x + 16 ifadesinde 9x² = (3x)², 16 = 4² ve −24x = −2 · 3x · 4 olduğundan ifade (3x − 4)²‘dir.
Özdeşlikler bilinmeyen ifadelerin değerini hızlı bulmak için de kullanılır. a + b ve ab biliniyorsa a² + b² = (a + b)² − 2ab; a − b ve ab biliniyorsa a² + b² = (a − b)² + 2ab yazılabilir.
B) 47
C) 53
D) 67
E) 81
KÜP ÖZDEŞLİKLERİ
Tam Küp ile İki Küp Toplamı ve Farkını Ayırma
| Yapı | Özdeşlik |
|---|---|
| Toplamın küpü | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| Farkın küpü | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| İki küp toplamı | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| İki küp farkı | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
İki küp toplamı ve farkındaki ikinci parantezin işaretleri düzenli bir kalıpla hatırlanabilir: İlk işaret, başlangıçtaki işaretin tersidir; son terim her zaman pozitiftir. Böylece 8x³ − 27 = (2x − 3)(4x² + 6x + 9) olur.
B) 4x + 1
C) 16x² + 4x + 1
D) 8x² − 2x + 1
E) 16x² + 1
TAM KAREYE TAMAMLAMA VE EN KÜÇÜK DEĞER
x² + bx İfadesine Uygun Sabiti Ekleyip Çıkarma
x² + bx ifadesi, b’nin yarısının karesi eklenerek tam kare yapılır: x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)². Örneğin x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2. Kareli ifade en az 0 olacağından bütün ifadenin en küçük değeri 2’dir.
Baş katsayı 1 değilse önce x² ve x’li terimlerin ortak katsayısı dışarı alınır. Bu yöntem yalnız çarpanlara ayırma için değil, ikinci dereceden bir ifadenin tepe değerini ve alabileceği en küçük ya da en büyük değeri bulmak için de kullanılır.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME VE TERİM EKLEYİP ÇIKARMA
Tekrarlanan Yapıyı Yeni Bir Değişkenle Sadeleştirme
Yüksek dereceli bir ifadede aynı kuvvet düzeni tekrarlanıyorsa uygun bir değişken seçilebilir. x⁴ − 5x² + 4 için t = x² denirse ifade t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4) olur. t yeniden x² ile değiştirilince (x² − 1)(x² − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) elde edilir.
Bazen doğrudan ayrılamayan bir ifadeye uygun terim eklenip aynı terim çıkarılır. Örneğin x⁴ + x² + 1 ifadesine x² eklenip çıkarılır: (x⁴ + 2x² + 1) − x² = (x² + 1)² − x². İki kare farkından sonuç (x² − x + 1)(x² + x + 1) olur.
B) x − 4
C) x² + 12
D) x² − 3
E) x + 1
RASYONEL İFADELERDE ÇARPANLARA AYIRMA VE SADELEŞTİRME
Pay ve Paydayı Çarpım Biçimine Getirme
Cebirsel kesirlerde sadeleştirme, yalnız ortak çarpanlar arasında yapılır. Önce pay ve payda tamamen çarpanlarına ayrılır; ardından ortak çarpanlar, sıfır olmadıkları koşuluyla sadeleştirilir. Örneğin (x² − 9)/(x² − x − 6) ifadesi (x − 3)(x + 3) / [(x − 3)(x + 2)] olur ve x ≠ 3 koşuluyla (x + 3)/(x + 2) biçimine gelir. Başlangıç paydası ayrıca x ≠ −2 koşulunu da verir.
ÇARPANLARA AYIRMA SORULARINDA TEMEL NOKTALAR
- İlk olarak bütün terimlerde ortak çarpan bulunup bulunmadığını kontrol edilir.
- Parantez yönünü değiştirirken bütün terimlerin işaretini değiştirin.
- Üç terimli ifadede sabit terimin çarpım, orta terimin toplam bilgisini verdiğini hatırlamak gerekir.
- Baş katsayı 1 değilse ac çarpımını kullanmak gerekir veya çapraz çarpımları kontrol edilir.
- İki kare toplamı ile iki kare farkını birbirine karıştırmamak gerekir.
- Tam karede orta terimin, kareköklerin çarpımının iki katı olduğunu sınamak gerekir.
- Küp toplamı ve farkında ikinci parantezin işaret düzenini denetlenir.
- Yüksek dereceli ifadede tekrarlanan kuvvetler için değişken değiştirmeyi düşünmek gerekir.
- Rasyonel ifadede terimleri değil, ortak çarpanları sadeleştirilir.
- Bulduğunuz çarpanları açarak başlangıç ifadesine dönüp dönmediğinizi kontrol edilir.