Rasyonel sayılar ve kesirler, bir bütünün parçalarını göstermenin yanında oranları, bölme işlemlerini ve sayı doğrusu üzerindeki ara değerleri ifade eder. KPSS sorularında kesrin türünü belirleme, eş değer kesir oluşturma, dört işlem, karmaşık kesirleri çözme ve rasyonel sayıları sıralama aynı temel kurallara dayanır.
Önceki EBOB ve EKOK konusunda kullanılan ortak bölen ve ortak kat bilgisi, kesirleri sadeleştirirken ve paydaları eşitlerken doğrudan işimize yarar. Bu yazıda ondalık gösterimlere geçmeden, kesir biçimindeki rasyonel sayıların bütün temel işlemleri ele alınacaktır.
RASYONEL SAYI NEDİR?
Pay, Payda ve Tanımlılık Koşulu
a ve b birer tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere ab biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi ℚ ile gösterilir. Üstteki a sayısı pay, alttaki b sayısı payda, aradaki çizgi ise bölme anlamı taşıyan kesir çizgisidir.
Her tam sayı rasyoneldir; çünkü n tam sayısı n1 biçiminde yazılabilir. Sıfır da 05 gibi sıfır olmayan bir paydayla gösterildiğinde rasyoneldir. Buna karşılık paydanın sıfır olması bölme işlemini tanımsız yapar. 50 tanımsızdır; 00 ise belirsiz bir ifadedir.
| Gösterim | Durum | Gerekçe |
|---|---|---|
| 79 | Rasyonel | Pay ve payda tam sayı, payda sıfır değil |
| −4 | Rasyonel | −41 biçiminde yazılabilir |
| 013 | Rasyonel | Değeri sıfırdır |
| 3x − 2 | x ≠ 2 için rasyonel | Payda sıfır olmamalıdır |
B) 0
C) 1
D) 3
E) 7
KESİR ÇEŞİTLERİ
Basit, Bileşik ve Tam Sayılı Kesirler
Kesrin türü belirlenirken işaret bir kenara bırakılır ve pay ile paydanın mutlak değerleri karşılaştırılır. Payın mutlak değeri paydanın mutlak değerinden küçükse basit kesir; büyük veya eşitse bileşik kesir elde edilir. Bir tam sayı ile pozitif basit kesrin birlikte yazıldığı gösterime tam sayılı kesir denir.
| Kesir Türü | Koşul | Örnek |
|---|---|---|
| Basit kesir | |a| < |b| | −35 |
| Bileşik kesir | |a| ≥ |b| | 94, −77 |
| Tam sayılı kesir | Tam kısım + basit kesir | 213 |
Pozitif mab tam sayılı kesri, m * b + ab biçiminde bileşik kesre çevrilir. Negatif tam sayılı kesirde eksi işareti bütün değeri kapsar: −235 = −135.
B) −217
C) −237
D) 197
E) 237
GENİŞLETME, SADELEŞTİRME VE EŞ DEĞER KESİRLER
Kesrin Değerini Değiştirmeden Dönüştürme
Bir kesrin payı ve paydası sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılırsa genişletme, ortak bir sayıya bölünürse sadeleştirme yapılır. Her iki işlemde de kesrin değeri değişmez. Çünkü yapılan işlem aslında kesri 1’e eşit bir ifadeyle çarpmak veya bölmektir.
ab = a * kb * k, k ≠ 0
Bir kesrin payı ve paydası aralarında asal olduğunda kesir en sade biçimdedir. Örneğin 84126 kesrinde EBOB(84, 126) = 42 olduğundan her iki terim 42’ye bölünür ve 23 elde edilir. Toplama ve çıkarma öncesinde ortak payda oluşturmak için genişletme; çarpma öncesinde işlemi küçültmek için sadeleştirme kullanılır.
B) 711
C) 914
D) 1117
E) 1419
RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA
Ortak Payda Oluşturma
Paydaları eşit olan kesirler toplanırken veya çıkarılırken paylar işleme alınır, ortak payda aynen korunur. Paydalar farklıysa önce paydaların ortak katlarından biri, çoğu zaman EKOK’u seçilerek paydalar eşitlenir. Yalnız payları doğrudan toplamak veya çıkarmak hatalıdır.
ab + cd = a * d + b * cb * d
Formül her zaman kullanılabilir; fakat ortak payda olarak doğrudan b * d seçmek sayıları gereksiz büyütebilir. Örneğin 512 ile 718 için ortak payda 216 değil, EKOK(12, 18) = 36 seçilirse işlem daha kısa olur. Tam sayılı kesirlerde önce bileşik kesre geçmek, özellikle çıkarma ve negatif işaretlerde hata riskini azaltır.
B) 2336
C) 2936
D) 3136
E) 3536
RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME
Çapraz Sadeleştirme ve İkinci Kesri Ters Çevirme
Çarpma işleminde paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır. Çarpımdan önce bir kesrin payı ile diğer kesrin paydası ortak bölen taşıyorsa çapraz sadeleştirme yapılabilir. Bu yöntem sonucun değerini değiştirmez, yalnız işlemdeki sayıları küçültür.
Bölmede birinci kesir aynen bırakılır, ikinci kesir ters çevrilir ve işlem çarpmaya dönüştürülür. Bölme işleminin tanımlı olabilmesi için ikinci kesrin kendisi de sıfır olmamalıdır. Başka bir ifadeyle bölen kesrin payı sıfırsa ters çevirme sonrasında payda sıfır olacağından işlem tanımsızdır.
| İşlem | Kural | Önemli Kontrol |
|---|---|---|
| Çarpma | a * cb * d | Önce çapraz sadeleştirme |
| Bölme | ab * dc | İkinci kesrin payı sıfır olamaz |
| İşlem önceliği | Parantez → üs → çarpma/bölme → toplama/çıkarma | Aynı düzeyde soldan sağa |
B) 89
C) 109
D) 149
E) 209
KARMAŞIK KESİRLER
Ana Kesir Çizgisini Belirleme
Payında, paydasında veya her iki bölümünde başka kesirler bulunan ifadelere karmaşık kesir denir. Çözümde önce ana kesir çizgisi belirlenir. Ana çizginin üstü tek bir pay, altı tek bir payda gibi ayrı ayrı hesaplanır; ardından üstte bulunan sonuç alttaki sonuca bölünür.
İç içe kesirlerde dıştan görülen çizgiyi hemen ters çevirme kuralına dönüştürmek yerine en içteki işlemlerden başlamak güvenlidir. Parantezler ve kesir çizgileri işlem önceliği oluşturur. Pay veya payda içinde toplama varsa, toplama tamamlanmadan terimler arasında sadeleştirme yapılamaz.
B) 89
C) 109
D) 43
E) 32
TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS
Karşıt Sayı ile Çarpmaya Göre Tersi Ayırma
Bir rasyonel sayıyla toplandığında sonucu sıfır yapan sayı, o sayının toplama işlemine göre tersi veya karşıtıdır. ab sayısının toplama işlemine göre tersi −ab‘dir.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayıyla çarpıldığında sonucu 1 yapan sayı ise çarpma işlemine göre terstir. ab sayısının çarpmaya göre tersi ba‘dır. Sıfırın çarpmaya göre tersi yoktur; çünkü hiçbir sayıyla çarpıldığında 1 elde edilemez.
B) −1415
C) −25
D) 1415
E) 1615
POZİTİF RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
Ortak Payda, Ortak Pay ve Fark Kuralı
Pozitif kesirleri sıralamanın en genel yolu paydaları eşitlemektir. Paydalar eşitse payı büyük olan; paylar eşitse paydası küçük olan daha büyüktür. İki kesir karşılaştırılırken çapraz çarpım da kullanılabilir: pozitif paydalarda ab ile cd için a * d ve b * c karşılaştırılır.
Pay ile payda arasındaki fark eşit olan pozitif basit kesirlerde pay ve payda büyüdükçe kesir 1’e yaklaşır ve büyür. Aynı koşuldaki pozitif bileşik kesirlerde ise değer 1’in üstünden 1’e yaklaşacağı için pay ve payda büyüdükçe kesir küçülür.
- Basit kesirler 0 ile 1 arasındadır.
- Pozitif bileşik kesirler 1’e eşit veya 1’den büyüktür.
- Sayı doğrusunda sağda bulunan rasyonel sayı daha büyüktür.
B) a < c < b
C) b < a < c
D) b < c < a
E) c < b < a
NEGATİF RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
Mutlak Değer Sırasını Ters Çevirme
Negatif rasyonel sayılarda sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür. Karşılaştırma yapılırken önce işaretler geçici olarak kaldırılıp pozitif büyüklükler sıralanabilir; eksi işaretleri geri getirildiğinde sıralamanın yönü ters çevrilir.
Örneğin 34 < 56 < 78 olduğundan negatifleri için −78 < −56 < −34 olur. “Paydası büyük olan küçüktür” gibi kısa kurallar yalnız pozitif ve payları eşit kesirlerde geçerlidir; işaret kontrol edilmeden uygulanamaz.
B) x < z < y
C) y < x < z
D) z < y < x
E) z < x < y
DEĞİŞKENLİ KESİRLERDE KOŞUL KONTROLÜ
Tanımsızlık, Basitlik ve Bileşiklik Şartları
Pay veya paydada değişken bulunduğunda önce tanım koşulu yazılır. Payda sıfır yapan bütün değerler çözüm kümesinden çıkarılır. Kesrin basit olması isteniyorsa payın mutlak değeri paydanın mutlak değerinden küçük; bileşik olması isteniyorsa büyük veya eşit olmalıdır.
Değişkenin doğal sayı, tam sayı, pozitif tam sayı veya gerçek sayı olduğu bilgisi sonuç kümesini doğrudan değiştirir. Örneğin x + 29 pozitif basit kesir ve x doğal sayıysa 0 < x + 2 < 9 koşulu kullanılır. Buna karşılık payda da değişkense önce paydayı sıfır yapan değerler ayıklanmalıdır.
B) −1
C) 0
D) 1
E) 3
RASYONEL SAYI SORULARINDA TEMEL NOKTALAR
- Paydayı sıfır yapan değerleri işlemden önce belirlenir.
- Tam sayılı kesirleri, özellikle negatif işaret varsa, bileşik kesre çevirmek gerekir.
- Toplama ve çıkarmada ortak payda; çarpmada çapraz sadeleştirme kullanılır.
- Bölmede yalnız ikinci kesri ters çevirmek gerekir ve bölenin sıfır olmadığını kontrol etmek gerekir.
- Karmaşık kesirlerde ana kesir çizgisinin üstünü ve altını ayrı ayrı hesaplanır.
- Sıralamada önce işaretleri, ardından ortak payda, ortak pay veya çapraz çarpım yöntemini değerlendirmek gerekir.
- Negatif kesirlerde mutlak değer sırasının tersine döneceğini göz önünde bulundurulur.
- Sonucu mümkünse sadeleştirilir ve işaretini yaklaşık değerle kontrol edilir.