EBOB ve EKOK, iki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerini ve ortak katlarını düzenli biçimde incelemeyi sağlar. Eşit parçalara ayırma, en büyük parça uzunluğunu bulma, belirli aralıklarla tekrarlanan olayların yeniden ne zaman çakışacağını belirleme ve sayıların ortak çarpan yapısını çözme bu konunun temel uygulamalarıdır.
Hesaplamalarda kullanılan asal çarpan gösterimini önceki Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma yazısında ayrıntılı biçimde görebilirsiniz. Bu yazıda aynı gösterim, en büyük ortak bölen ile en küçük ortak katı bulmak için kullanılacaktır.
EBOB NEDİR?
Ortak Bölenlerin En Büyüğünü Bulma
İki veya daha fazla pozitif tam sayıyı kalansız bölen sayılara bu sayıların ortak bölenleri denir. Ortak bölenlerin en büyüğü EBOB olarak adlandırılır. EBOB(a, b) gösterimi kullanılır.
Örneğin 24’ün pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24; 36’nın pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36’dır. Ortak bölenler 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 olduğundan EBOB(24, 36) = 12 olur.
- EBOB, verilen sayıların her birini tam böler.
- EBOB hiçbir zaman sayıların en küçüğünden büyük olamaz.
- Sayıların ortak böleni yalnız 1 ise EBOB değeri 1’dir.
B) 21
C) 28
D) 42
E) 63
EKOK NEDİR?
Ortak Katların En Küçüğünü Bulma
İki veya daha fazla pozitif tam sayının her birine kalansız bölünebilen sayılar bu sayıların ortak katlarıdır. Pozitif ortak katların en küçüğüne EKOK denir ve EKOK(a, b) biçiminde gösterilir.
12’nin pozitif katları 12, 24, 36, 48, 60, 72, …; 18’in pozitif katları 18, 36, 54, 72, … biçiminde ilerler. İlk ortak kat 36 olduğu için EKOK(12, 18) = 36‘dır.
- EKOK, verilen sayıların her birinin katıdır.
- EKOK hiçbir zaman sayıların en büyüğünden küçük olamaz.
- Ortak katlar, EKOK’un pozitif tam sayı katlarıdır.
B) 54
C) 60
D) 72
E) 96
ASAL ÇARPANLARLA EBOB VE EKOK BULMA
Küçük ve Büyük Üs Kuralı
Sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında EBOB ve EKOK aynı tablo üzerinden bulunabilir. EBOB için yalnız ortak asal çarpanlar ve bunların küçük üsleri; EKOK için sayıların herhangi birinde bulunan bütün asal çarpanlar ve bunların büyük üsleri seçilir.
| Asal Çarpan | A = 24 * 32 * 5 | B = 22 * 33 * 7 | EBOB İçin | EKOK İçin |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 2 | 2 | 4 |
| 3 | 2 | 3 | 2 | 3 |
| 5 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 7 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Buna göre EBOB(A, B) = 22 * 32 = 36 ve EKOK(A, B) = 24 * 33 * 5 * 7 olur. Bir asal çarpan sayılardan yalnız birinde bulunuyorsa EBOB’a girmez; EKOK’a mutlaka girer.
B) 36
C) 48
D) 72
E) 144
EBOB İLE EKOK ARASINDAKİ ÇARPIM İLİŞKİSİ
İki Sayının Çarpımını Kullanma
Pozitif iki tam sayı için EBOB ile EKOK’un çarpımı, sayıların çarpımına eşittir:
EBOB(a, b) * EKOK(a, b) = a * b
Bu bağıntı özellikle sayılardan biri, EBOB ve EKOK biliniyorken diğer sayıyı bulmayı hızlandırır. Örneğin EBOB(a, b) = 6, EKOK(a, b) = 120 ve a = 30 ise b = (6 * 120) / 30 = 24 olur.
B) 30
C) 36
D) 48
E) 72
ÖZEL SAYI ÇİFTLERİNDE EBOB VE EKOK
Aralarında Asal, Ardışık ve Tam Bölünen Sayılar
Bazı sayı çiftlerinde EBOB ve EKOK uzun işlem yapılmadan bulunabilir. Bunun için sayıların ortak çarpan yapısı ve birbirine bölünüp bölünmediği kontrol edilir.
| Durum | EBOB | EKOK |
|---|---|---|
| a ve b aralarında asal | 1 | a * b |
| a ve b ardışık pozitif tam sayılar | 1 | a * b |
| a, b’yi tam bölüyor ve a < b | a | b |
| a = b | a | a |
Ardışık iki tek sayı her zaman aralarında asaldır. Ardışık iki çift sayı ise 2 ortak bölenini taşıdığı için aralarında asal değildir. Ayrıca sayılardan biri diğerini tam bölüyorsa küçük sayı EBOB, büyük sayı EKOK olur.
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
EBOB VERİLEN İKİ SAYIYI OLUŞTURMA
Ortak Çarpanı Dışarı Alma
EBOB(a, b) = d ise sayılar a = d * x ve b = d * y biçiminde yazılır. Burada x ile y mutlaka aralarında asal olmalıdır. Aksi hâlde d’den daha büyük bir ortak bölen ortaya çıkar.
Örneğin EBOB’u 10 olan iki sayı 10x ve 10y biçimindedir. x ve y için 2 ile 3 seçilebilir; fakat 2 ile 4 seçilemez. Çünkü ikinci durumda sayıların gerçek EBOB’u 20 olur.
B) 8
C) 12
D) 16
E) 24
EKOK VERİLEN İKİ SAYIYI OLUŞTURMA
EKOK’un Bölenlerinden Uygun Çifti Seçme
EKOK(a, b) = K ise a ve b sayılarının her ikisi de K’nin pozitif bölenidir. Ancak K’nin herhangi iki bölenini seçmek yeterli değildir; seçilen sayıların EKOK’u gerçekten K olmalıdır.
Örneğin EKOK’u 60 olan iki sayı için 12 ve 15 seçilebilir; çünkü EKOK(12, 15) = 60’tır. Buna karşılık 6 ve 10 seçilirse EKOK 30 olur ve koşul sağlanmaz. En büyük toplam aranıyorsa çoğu zaman K ile K’nin en büyük uygun böleni birlikte değerlendirilir.
B) 48
C) 54
D) 60
E) 72
İKİDEN FAZLA SAYIDA VE KESİRLERDE EBOB–EKOK
Aynı Üs Mantığını Genişletme
Üç veya daha fazla doğal sayıda da EBOB için bütün sayılarda ortak bulunan asal çarpanların en küçük üsleri, EKOK için sayıların herhangi birinde bulunan asal çarpanların en büyük üsleri alınır. Ancak iki sayıya özgü çarpım bağıntısı burada kullanılmaz.
Sadeleştirilmiş pozitif kesirlerde ortak bölen ve ortak kat aranırken paylar ile paydalar ters yönlü değerlendirilir:
Kesirlerin EBOB’u = payların EBOB’u / paydaların EKOK’u
Kesirlerin EKOK’u = payların EKOK’u / paydaların EBOB’u
B) 15
C) 20
D) 24
E) 30
EBOB VE EKOK PROBLEMLERİNİ AYIRT ETME
Parçalama mı Birleştirme mi?
Problemde verilen büyüklükler daha küçük ve eşit parçalara ayrılıyorsa, en büyük parça veya en seyrek yerleşim aranıyorsa EBOB kullanılır. Ayrı ayrı tekrar eden olayların ilk kez birlikte gerçekleşmesi, küçük parçaların ortak bir bütün oluşturması veya bütün sayılara bölünebilen en küçük değer aranıyorsa EKOK kullanılır.
| EBOB Sinyalleri | EKOK Sinyalleri |
|---|---|
| En büyük eşit parça | En küçük ortak zaman veya miktar |
| Artmayacak biçimde eşit paketleme | Belirli aralıklarla tekrar eden olayların buluşması |
| Çevreye en seyrek eşit aralıkla yerleştirme | Küçük bloklarla ortak ölçülü bir bütün oluşturma |
| Kesme, ayırma, paylaştırma | Birleştirme, tamamlama, birlikte gerçekleşme |
Hangi yöntemin kullanılacağı yalnız “en büyük” veya “en küçük” sözcüğüne bakılarak belirlenmez. Önce büyüklüğün parçalanıp parçalanmadığına ve aranan sonucun verilen sayıları bölmesi mi, yoksa verilen sayılara bölünmesi mi gerektiğine bakılmalıdır.
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
KALANLI VE TEKRARLAYAN OLAY PROBLEMLERİ
Ortak Kalanı Ayırıp EKOK Kullanma
Bir sayı farklı bölenlere bölündüğünde her defasında aynı r kalanını veriyorsa sayıdan r çıkarıldığında kalan kısım bu bölenlerin her birine tam bölünür. Bu nedenle çözüm N = EKOK(a, b, c) * k + r biçiminde kurulur.
Belirli aralıklarla tekrarlanan zil, nöbet, tur veya bakım olaylarında da ilk ortak tekrar süresi aralıkların EKOK’udur. “İkinci kez” veya “üçüncü kez” karşılaşma soruluyorsa başlangıç anının sayılıp sayılmadığı dikkatle değerlendirilir.
B) 335
C) 345
D) 355
E) 365
EBOB–EKOK SORULARINDA TEMEL NOKTALAR
- Aranan değerin verilen sayıları bölmesi mi, yoksa verilen sayılara bölünmesi mi gerektiğini belirlemek gerekir.
- Eşit parçalara ayırmada EBOB’u, ortak tekrar veya ortak bütün kurmada EKOK’u değerlendirmek gerekir.
- Asal çarpan gösteriminde EBOB için küçük, EKOK için büyük üsleri seçmek gerekir.
- İki sayı verildiğinde EBOB * EKOK = a * b bağıntısının çözümü kısaltıp kısaltmadığını kontrol edilir.
- EBOB’u verilen sayıları d * x ve d * y biçiminde yazıp x ile y’nin aralarında asal olmasını sağlamak gerekir.
- Kalanlı sorularda ortak kalanı önce çıkarmak gerekir; alt veya üst sınırı en son uygulamak gerekir.