AYT yamuk konu anlatımı kapsamında paralel tabanların oluşturduğu açılar, orta taban, köşegen oranları ve alan ilişkileri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
YAMUĞUN TANIMI, ELEMANLARI VE AÇILARI
PARALEL TABANLAR, YAN KENARLAR VE YÜKSEKLİK
En az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. ABCD yamuğunda AB∥CD ise AB ile CD tabanlar, AD ile BC yan kenarlardır. Paralel tabanlar arasındaki dik uzaklık yüksekliktir. Bir yan kenar tabanlara dikse dik yamuk, yan kenarlar eşitse ikizkenar yamuk elde edilir.
BÜTÜNLER AÇILAR VE AÇIORTAYLAR
Paralel doğruları kesen her yan kenar üzerinde aynı taraftaki iç açılar bütünlerdir:
∠A+∠D=180° ve ∠B+∠C=180°
Aynı yan kenarın uçlarındaki bütünler açıların iç açıortayları birbirine diktir. Karşılıklı köşelerin açıortayları arasındaki dar açı ise genel dörtgen bağıntısıyla, geriye kalan iki açının farkının yarısından bulunabilir.
Örnek - 1
ABCD yamuğunda AB∥CD, ∠A=3x+15°, ∠D=5x+5° ve B:∠D=4:5’tir. A ile C iç açıortayları arasındaki dar açı kaç derecedir?
A) 10,5
B) 12
C) 13,5
D) 15
E) 16,5
∠A+∠D=180° olduğundan 8x+20=180 ve x=20’dir. Böylece ∠A=75°, ∠D=105° olur. B:∠D=4:5 oranından ∠B=84°, dolayısıyla ∠C=96° bulunur. Karşılıklı A ve C açıortayları arasındaki dar açı |∠B−∠D|/2=21/2=10,5°’dir.
Cevap: A
Örnek - 2
ABCD yamuğunda AB∥CD, ∠A=72° ve C:∠D=7:9’dur. A ve B iç açıortayları P noktasında kesiştiğine göre m(∠APB) kaç derecedir?
A) 90
B) 96
C) 102
D) 108
E) 114
∠A+∠D=180° olduğundan ∠D=108°’dir. C:∠D=7:9 oranı ∠C=84° verir; ∠B=180−84=96° olur. Dörtgende ardışık A ve B açıortayları için m(∠APB)=(∠C+∠D)/2=(84+108)/2=96° bulunur.
Cevap: B
KÖŞEGENLERİN KESİM ORANI
ABCD yamuğunda köşegenler O noktasında kesişiyorsa AOB ve COD üçgenleri benzerdir. Bu nedenle köşegen parçaları paralel tabanlarla aynı orandadır:
AO/OC=BO/OD=AB/CD
Örnek - 3
ABCD yamuğunda AB∥CD, AB=12, CD=30 ve köşegenler O noktasında kesişmektedir. AC=28 ve BO=8 olduğuna göre AO+OD kaç birimdir?
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
AO/OC=BO/OD=12/30=2/5’tir. AC yedi eş oran parçası olduğundan AO=28·2/7=8 bulunur. BO/OD=2/5 ve BO=8 olduğundan OD=20’dir. İstenen toplam 8+20=28 birimdir.
Cevap: C
PARALEL KESİTTE DOĞRUSAL DEĞİŞİM
Örnek - 4
Taban uzunlukları 8 ve 26, yüksekliği 12 birim olan bir yamukta tabanlara paralel bir kesit, kısa tabandan 4 birim uzaktadır. Kısa taban ile bu kesit arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 36
B) 38
C) 40
D) 44
E) 48
Paralel kesit uzunluğu yükseklik boyunca doğrusal değişir. Kısa tabandan yüksekliğin 4/12’si kadar ilerlenince uzunluk 8+(26−8)·4/12=14 olur. Üst bölgenin alanı (8+14)·4/2=44 birimkaredir.
Cevap: D
ORTA TABAN VE PARALEL KESİTLER
ORTA TABAN BAĞINTISI
Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçası tabanlara paraleldir ve uzunluğu tabanların aritmetik ortalamasına eşittir:
EF=(AB+CD)/2
Yamuğun alanı bu nedenle orta taban × yükseklik olarak da hesaplanabilir.
Örnek - 5
Bir yamuğun orta tabanı 18, yüksekliği 18 birimdir. Taban uzunlukları arasındaki fark 10 birim olduğuna göre taban uzunluklarının çarpımı kaçtır?
A) 247
B) 273
C) 285
D) 291
E) 299
Tabanların toplamı 2·18=36’dır. Büyük taban b, küçük taban a ise b+a=36 ve b−a=10 eşitliklerinden a=13, b=23 bulunur. Çarpımları 13·23=299’dur.
Cevap: E
KÖŞEGENLERİN ORTA TABANI BÖLMESİ
Köşegenler orta tabanı üç parçaya ayırır. Dıştaki iki parça kısa tabanın yarısına, ortadaki parça tabanlar farkının yarısına eşittir. Tabanlar a<b ise parçalar sırasıyla a/2, (b−a)/2, a/2 olur.
Örnek - 6
ABCD yamuğunda AB∥CD, AB=26 ve CD=10’dur. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren EF doğru parçasını köşegenler K ve L noktalarında kesiyor. EK·KL kaçtır?
A) 40
B) 45
C) 48
D) 50
E) 54
Orta tabanın dış parçaları kısa tabanın yarısı, orta parçası tabanlar farkının yarısıdır. EK=10/2=5 ve KL=(26−10)/2=8 olur. Çarpım 5·8=40’tır.
Cevap: A
AÇIORTAYLARIN ORTA TABANDAKİ KESİŞİMİ
Aynı yan kenarın uçlarındaki açılar bütünler olduğundan açıortayları diktir. Bu iki açıortayın kesişim noktası, paralel tabanlara eşit uzaklıktadır; dolayısıyla orta taban doğrusu üzerindedir.
Örnek - 7
ABCD yamuğunda A ve D açılarının iç açıortayları P noktasında kesişiyor. AP:DP=3:4 ve AD=10 birim olduğuna göre APD üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 20
B) 24
C) 25
D) 30
E) 32
∠A+∠D=180° olduğundan açıortaylar diktir ve APD üçgeni P’de diktir. AP:DP=3:4, hipotenüs AD=10 olduğundan üçgen 6-8-10 üçgenidir. Alan 6·8/2=24 birimkaredir.
Cevap: B
ORTA TABANLA ALAN VE KÖŞEGEN YÜKSEKLİĞİ
Örnek - 8
Tabanları 8 ve 26, yüksekliği 10 birim olan bir yamukta orta taban çiziliyor. Orta tabanın üstünde ve altında kalan bölgelerin alanları oranı kaçtır?
A) 21/37
B) 12/23
C) 25/43
D) 27/44
E) 29/46
Orta taban (8+26)/2=17 birimdir ve yüksekliği iki eş parçaya ayırır. Üst alan (8+17)·5/2=125/2, alt alan (17+26)·5/2=215/2 olur. Oran 125/215=25/43’tür.
Cevap: C
Örnek - 9
ABCD yamuğunda AB∥CD, AB=14, CD=6 ve yükseklik 10 birimdir. Köşegenlerin kesişim noktasının iki tabana uzaklıklarının çarpımı kaçtır?
A) 18
B) 20
C) 20,5
D) 21
E) 24
Köşegenlerin kesişim noktası yüksekliği taban uzunlukları oranında böler. AB’ye uzaklık 10·14/(14+6)=7, CD’ye uzaklık 3 birimdir. Çarpım 7·3=21’dir.
Cevap: D
YAMUKTA ALAN VE ALAN ORANLARI
TABANLAR VE YÜKSEKLİKLE ALAN
Taban uzunlukları a ve b, yükseklik h ise yamuğun alanı
Alan=(a+b)·h/2=orta taban·h
bağıntısıyla bulunur. Yan kenarın tabana izdüşümü biliniyorsa yükseklik çoğu zaman Pisagor veya trigonometriyle hesaplanır.
Örnek - 10
Taban uzunlukları 3:5 oranında ve orta tabanı 16 birim olan bir yamuğun alanı 192 birimkaredir. Yan kenarlardan birinin taban doğrultusundaki izdüşümü 5 birim olduğuna göre bu yan kenarın uzunluğu kaç birimdir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Tabanların toplamı 32 olduğundan uzunlukları 12 ve 20’dir. Alan=orta taban·h bağıntısından 192=16h ve h=12 bulunur. Yan kenar, dik kenarları 5 ve 12 olan dik üçgenin hipotenüsüdür; uzunluğu 13 birimdir.
Cevap: E
Örnek - 11
ABCD yamuğunda AB∥CD’dir. AC köşegeninin ayırdığı ABC ve ACD üçgenlerinin alanları sırasıyla 84 ve 36 birimkaredir. Yamuğun orta tabanı 20 birim olduğuna göre taban uzunlukları arasındaki fark kaç birimdir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
İki üçgenin yükseklikleri aynı olduğundan AB/CD=84/36=7/3’tür. Orta taban 20 ise AB+CD=40’tır. Tabanlar 28 ve 12 birim, farkları 16 birimdir.
Cevap: A
KÖŞEGENLERİN OLUŞTURDUĞU ALANLAR
Köşegenlerin kesişim noktası O olsun. Paralel tabanlara dayanan AOB ve COD üçgenleri benzerdir; alanları taban oranının karesiyle değişir. Diğer iki yan üçgenin alanları birbirine eşittir. Karşılıklı bölgelerin çarpımları da eşittir.
Örnek - 12
Bir yamuğun köşegenleri O noktasında kesişiyor. Paralel tabanlara dayanan AOB ve COD üçgenlerinin alanları sırasıyla 36 ve 16 birimkaredir. Yamuğun alanı kaç birimkaredir?
A) 96
B) 100
C) 104
D) 108
E) 112
Yan bölgelerin alanları eşit ve her biri √(36·16)=24 birimkaredir. Toplam alan 36+16+24+24=100 birimkare olur. Eşdeğer biçimde alan (√36+√16)²=10²=100’dür.
Cevap: B
PARALEL KESİTLERLE ALAN BÖLÜŞÜMÜ
Tabanlara paralel kesit uzunluğu, yükseklik boyunca doğrusal değişir. Üstten t/h oranında ilerlenmişse kesit a+(b−a)t/h olur. Her alt bölgenin alanı kendi paralel kenarlarının ortalamasıyla yüksekliğinin çarpımıdır.
Örnek - 13
Tabanları 8 ve 26 birim olan bir yamukta, kısa tabandan yüksekliğin üçte biri kadar uzakta tabanlara paralel bir kesit çiziliyor. Üst ve alt bölgelerin alanları oranı kaçtır?
A) 9/32
B) 5/16
C) 11/40
D) 3/10
E) 7/20
Kesit uzunluğu 8+(26−8)/3=14’tür. Toplam yüksekliğe h dersek üst alan (8+14)·(h/3)/2=11h/3, alt alan (14+26)·(2h/3)/2=40h/3 olur. Oran 11/40’tır.
Cevap: C
YAN KENAR ORTA NOKTASIYLA ALAN
Örnek - 14
ABCD yamuğunda AB∥CD ve E, BC yan kenarının orta noktasıdır. ADE üçgeninin alanı 54 birimkare olduğuna göre ABCD yamuğunun alanı kaç birimkaredir?
A) 96
B) 100
C) 104
D) 108
E) 112
E, BC’nin orta noktası olduğunda ADE üçgeninin alanı yamuğun alanının yarısına eşittir. Bu sonuç koordinatla veya aynı yükseklikli üçgenlerle görülebilir. Dolayısıyla Alan(ABCD)=2·54=108 birimkaredir.
Cevap: D
KÖŞEGEN ALAN UYGULAMALARI
Örnek - 15
Bir yamuğun köşegenleriyle oluşan ve paralel tabanlara dayanan iki üçgenin alanları 16 ve 64 birimkaredir. Yan kenarlara komşu eş alanlı üçgenlerden her birinin alanı kaç birimkaredir?
A) 20
B) 24
C) 26
D) 28
E) 32
Karşılıklı alan çarpımlarından yan üçgenlerden her birinin alanı √(16·64)=√1024=32 birimkaredir.
Cevap: E
Örnek - 16
Bir yamuğun köşegenleri dört üçgensel bölge oluşturuyor. Paralel tabanlardan birine dayanan bölgenin alanı 18, yan bölgelerden birinin alanı 30 birimkaredir. Diğer yan bölgenin de aynı alana sahip olduğu bilindiğine göre yamuğun toplam alanı kaç birimkaredir?
A) 128
B) 132
C) 136
D) 140
E) 144
Diğer tabana dayanan alan S olsun. Karşılıklı bölgelerin çarpımından 18S=30·30 ve S=50 bulunur. Toplam alan 18+30+50+30=128 birimkaredir.
Cevap: A
Dikkat
Yamukta köşegenlerin oluşturduğu yan üçgenler eş alanlıdır; fakat paralel tabanlara dayanan iki üçgen yalnız tabanlar eşitse eş alanlı olur. Alan oranında uzunluk oranının karesi kullanılır.
İKİZKENAR YAMUK
TABAN AÇILARI, KÖŞEGENLER VE ÇEMBERSELLİK
Yan kenarları eşit olan yamuk ikizkenar yamuktur. Aynı tabana komşu açılar eşit, köşegenler eşit uzunluktadır. Karşılıklı açılar 180° olduğundan her ikizkenar yamuk aynı zamanda çembersel dörtgendir.
YÜKSEKLİK İNDİRME VE TABAN FARKI
Üst tabanın uçlarından alt tabana yükseklik indirildiğinde iki eş dik üçgen oluşur. Bu üçgenlerin yatay kenarlarının her biri tabanlar farkının yarısıdır. Böylece yan kenar, yükseklik ve (b−a)/2 arasında Pisagor bağıntısı kurulur.
Örnek - 17
Tabanları 10 ve 26, yan kenarları 10 birim olan bir ikizkenar yamuğun alanı kaç birimkaredir?
A) 96
B) 108
C) 112
D) 120
E) 126
Her bir yatay izdüşüm (26−10)/2=8 birimdir. Yan kenar 10 olduğundan yükseklik √(10²−8²)=6 bulunur. Alan (10+26)·6/2=108 birimkaredir.
Cevap: B
Örnek - 18
Taban uzunlukları 6 ve 14 birim olan bir ikizkenar yamuğun köşegen uzunluğu √136 birimdir. Yamuğun alanı kaç birimkaredir?
A) 48
B) 54
C) 60
D) 64
E) 72
İkizkenar yamukta bir köşegenin yatay izdüşümü tabanlar toplamının yarısıdır: (6+14)/2=10. d²=h²+10² olduğundan 136=h²+100 ve h=6 bulunur. Alan 10·6=60 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 19
Üst tabanı 10, alt tabanı 18 ve yan kenarları 8 birim olan bir ikizkenar yamuğun dar taban açısı 60°’dir. Alanı kaç birimkaredir?
A) 40√3
B) 44√3
C) 48√3
D) 56√3
E) 64√3
Yükseklik 8sin60°=4√3’tür. Orta taban (10+18)/2=14 olduğundan alan 14·4√3=56√3 birimkaredir.
Cevap: D
DİK KÖŞEGENLİ İKİZKENAR YAMUK
İkizkenar yamuğun köşegenleri dik kesişiyorsa yükseklik orta tabana eşittir. Dolayısıyla alan, orta tabanın karesidir:
h=(a+b)/2 ve Alan=h²
Örnek - 20
Tabanları 6 ve 18 birim olan bir ikizkenar yamuğun köşegenleri dik kesişmektedir. Yamuğun alanı kaç birimkaredir?
A) 108
B) 120
C) 126
D) 132
E) 144
Dik köşegenli ikizkenar yamukta yükseklik orta tabana eşittir. Orta taban (6+18)/2=12 olduğundan alan 12²=144 birimkaredir.
Cevap: E
Örnek - 21
Köşegenleri dik kesişen bir ikizkenar yamuğun alanı 196 birimkare, taban uzunlukları farkı 10 birimdir. Taban uzunluklarının çarpımı kaçtır?
A) 171
B) 175
C) 180
D) 185
E) 189
Alan orta tabanın karesi olduğundan orta taban 14, tabanların toplamı 28’dir. b−a=10 ve b+a=28 eşitliklerinden tabanlar 19 ile 9 bulunur. Çarpımları 171’dir.
Cevap: A
İKİZKENAR YAMUKTA EŞ KÖŞEGENLER
Örnek - 22
Tabanları 8 ve 18, yan kenarları 13 birim olan bir ikizkenar yamuğun köşegen uzunlukları toplamı kaç birimdir?
A) √313
B) 2√313
C) 4√78
D) 26
E) 30
Yan kenarın yatay izdüşümü (18−8)/2=5, yükseklik √(13²−5²)=12’dir. Bir köşegenin yatay izdüşümü (18+8)/2=13 olduğundan uzunluğu √(13²+12²)=√313’tür. Köşegenler eşit olduğundan toplam 2√313 olur.
Cevap: B
DİK YAMUK
DİK ÜÇGENE AYIRMA
Dik yamukta dik yan kenar doğrudan yüksekliktir. Eğik yan kenarın taban doğrultusundaki izdüşümü tabanlar farkına eşittir. Böylece eğik kenar, yükseklik ve taban farkından oluşan dik üçgene Pisagor uygulanır.
Örnek - 23
Tabanları 9 ve 21, yüksekliği 5 birim olan bir dik yamuğun çevresi kaç birimdir?
A) 44
B) 46
C) 48
D) 50
E) 52
Eğik kenarın yatay izdüşümü 21−9=12, yüksekliği 5’tir. Eğik kenar √(12²+5²)=13 olur. Çevre 9+21+5+13=48 birimdir.
Cevap: C
DİK KÖŞEGEN BAĞINTISI
Tabanları a ve b, yüksekliği h olan bir dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa koordinat veya benzerlik yardımıyla
h²=a·b
bağıntısı elde edilir. Bu koşul, alanı ve tabanları tek denklem sisteminde birleştirir.
Örnek - 24
Tabanları 4 ve 9 birim olan bir dik yamuğun köşegenleri dik kesişmektedir. Yamuğun alanı kaç birimkaredir?
A) 30
B) 33
C) 36
D) 39
E) 42
h²=4·9=36 olduğundan h=6’dır. Alan (4+9)·6/2=39 birimkaredir.
Cevap: D
Örnek - 25
Köşegenleri dik kesişen bir dik yamuğun yüksekliği 12, uzun tabanı 18 birimdir. Eğik yan kenarın uzunluğu kaç birimdir?
A) √181
B) √205
C) 2√51
D) 4√13
E) 2√61
h²=a·b bağıntısından 144=18a ve kısa taban a=8 bulunur. Taban farkı 10’dur. Eğik kenar √(12²+10²)=√244=2√61 birimdir.
Cevap: E
Örnek - 26
Yüksekliği 10 birim, alanı 125 birimkare olan bir dik yamuğun köşegenleri dik kesişmektedir. Eğik yan kenarı kaç birimdir?
A) 5√13
B) 10√2
C) 5√10
D) 10√3
E) 20
Alan bağıntısından (a+b)·10/2=125 ve a+b=25’tir. Dik köşegen koşulu ab=h²=100 verir. t²−25t+100=0 denkleminin kökleri 5 ve 20’dir. Taban farkı 15 olduğundan eğik kenar √(10²+15²)=5√13’tür.
Cevap: A
KOORDİNATLA DİK YAMUK
Örnek - 27
ABCD dik yamuğunda AB∥CD, AD⊥AB, AB=15, CD=6 ve AD=12 birimdir. E, AD’nin orta noktası olduğuna göre BCE üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 60
B) 63
C) 66
D) 69
E) 72
Koordinat düzleminde A(0,0), B(15,0), D(0,12), C(6,12) ve E(0,6) alınabilir. B’den çıkan BC=(−9,12), BE=(−15,6) vektörlerinin determinantının mutlak değeri 126’dır. Üçgen alanı 126/2=63 birimkaredir.
Cevap: B
AYT DÜZEYİ KESME, KATLAMA VE MODELLEME
DEĞİŞKEN KESİT VE BÖLGE ALANI
Yamuk biçimli kâğıt, panel, kap veya grafik modellerinde tabanlara paralel her kesitin uzunluğu yüksekliğe göre doğrusal değişir. Katlama uzaklığı, kesme alanı; benzerlik ise uzatılan yan kenarların oluşturduğu üçgenler üzerinden izlenir.
Örnek - 28
Tabanları 8 ve 20, yüksekliği 12 birim olan bir yamukta kısa tabandan 4 ve 9 birim uzakta iki paralel kesit çiziliyor. Bu iki kesit arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 65
B) 70
C) 145/2
D) 75
E) 155/2
Kesit uzunluğu her bir yükseklikte 1 birim artar. Kısa tabandan 4 birimde kesit 12, 9 birimde 17 birimdir. Aradaki yükseklik 5 olduğundan bölgenin alanı (12+17)·5/2=145/2 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 29
Yan yüzü tabanları 14 ve 26, yüksekliği 12 birim olan yamuk biçimindeki bir su deposunda su yüksekliği uzun tabandan itibaren 4 birimdir. Suyun kapladığı kesit alanının deponun toplam kesit alanına oranı kaçtır?
A) 1/3
B) 3/8
C) 5/12
D) 2/5
E) 7/15
Kesit uzunluğu tabandan yukarı doğru her birimde 1 azalır; su yüzeyi uzunluğu 26−4=22’dir. Su alanı (26+22)·4/2=96, toplam alan (26+14)·12/2=240’tır. Oran 96/240=2/5 olur.
Cevap: D
UZATILAN YAN KENARLARDA BENZERLİK
Yamuğun yan kenarları paralel olmayan yönde uzatılıp bir noktada kesiştirildiğinde tabanlar, ortak tepeye sahip benzer üçgenlerin paralel kesitleri olur. Taban oranı, tepeye olan yüksekliklerin ve bütün doğrusal uzunlukların oranına eşittir.
Örnek - 30
Kısa tabanı 12, uzun tabanı 30 ve yüksekliği 18 birim olan bir yamuğun yan kenarları kısa taban yönünde uzatılarak P noktasında kesiştiriliyor. P ile kısa taban arasında oluşan üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 54
B) 60
C) 64
D) 68
E) 72
P’den kısa tabana uzaklık x olsun. Benzer üçgenlerden x/(x+18)=12/30=2/5 elde edilir. 5x=2x+36 ve x=12’dir. Küçük üçgenin alanı 12·12/2=72 birimkaredir.
Cevap: E
Yamukta paralel tabanlar açıları ve kesitleri, köşegenler benzerlik ile alan parçalarını, özel yamuk türleri ise simetri ve dik üçgen ilişkilerini belirler.
