TYT üçgende eşlik ve benzerlik konu anlatımı; iki üçgenin aynı biçim ve büyüklükte olmasını sağlayan eşlik koşullarını, yalnız biçimleri aynı olan üçgenlerde benzerlik oranını ve paralel doğruların oluşturduğu temel orantıları kapsar. Bu konuda işlemin doğruluğu, köşelerin karşılık sırasını doğru kurmaya bağlıdır.
ÜÇGENLERDE EŞLİK
Eş Üçgen ve Karşılık Sırası
Karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri eşit olan iki üçgen eştir. ABC ≅ DEF yazıldığında sıralama A↔D, B↔E ve C↔F karşılığını verir. Buna göre AB=DE, BC=EF, AC=DF; m(A)=m(D), m(B)=m(E) ve m(C)=m(F) olur.
Eşlik oranı 1’dir. Üçgenlerden biri döndürülmüş, yansıtılmış veya başka bir konuma taşınmış olsa da kenar ve açı karşılıkları değişmez. Bu nedenle yalnız şeklin duruşuna bakmak yerine eşlik ifadesindeki harf sırası izlenmelidir.
Kenar–Açı–Kenar (KAK) Eşliği
İki üçgende ikişer kenar ve bu kenarların arasında kalan açı karşılıklı olarak eşitse üçgenler KAK ile eştir. Açının verilen iki kenarın arasında olması zorunludur; iki kenarla birlikte arada olmayan bir açının eşitliği genel durumda eşliği kanıtlamaz.
Açı–Kenar–Açı (AKA) ve Kenar–Kenar–Kenar (KKK)
Bir kenar ile o kenarın iki ucundaki açılar eşitse AKA eşliği kurulur. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan iki açının eşitliği üçüncü açı eşitliğini de getirir. Üç kenarın karşılıklı eş olması ise KKK eşliğidir.
| Ölçüt | Yeterli veri | Dikkat |
|---|---|---|
| KAK | İki kenar ve aradaki açı | Açı, verilen kenarların arasında olmalı |
| AKA | İki açı ve aradaki kenar | Karşılık sırası korunmalı |
| KKK | Üç karşılıklı kenar | Açı ölçmeye gerek yoktur |
ÜÇGENLERDE BENZERLİK
Benzer Üçgen ve Benzerlik Oranı
Karşılıklı açıları eş, karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenler benzerdir. ABC ~ DEF yazımında A↔D, B↔E ve C↔F olduğundan AB/DE=BC/EF=AC/DF=k eşitliği kurulur. Buradaki k, ilk üçgenin ikinci üçgene benzerlik oranıdır.
k=1 ise iki üçgen yalnız benzer değil, aynı zamanda eştir. k değeri yazım yönüne bağlıdır: ABC’nin DEF’ye oranı k ise DEF’nin ABC’ye oranı 1/k olur.
Benzerlikte Yardımcı Elemanlar ve Çevre
Benzer üçgenlerde karşılıklı yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar, çevreler, iç teğet çember yarıçapları ve çevrel çember yarıçapları da benzerlik oranıyla değişir. ABC/DEF=k ise hABC/hDEF=vABC/vDEF=Çevre(ABC)/Çevre(DEF)=k olur.
Uzunluklar k ile değişirken alanlar k² ile değişir. Alan bağıntılarının ayrıntılı kullanımı bir sonraki “Üçgende Alan” konusunda ele alınacaktır.
AA, KAK ve KKK Benzerlik Ölçütleri
İki açısı karşılıklı eş olan üçgenler AA ile benzerdir. İki çift kenarın oranı eş ve bu kenarların arasındaki açılar eşse KAK; üç çift kenarın oranları eşse KKK benzerliği oluşur. Benzerlikte kenarların eş olması değil, aynı katsayıyla orantılı olması aranır.
PARALELLİK, TEMEL ORANTI VE THALES
Temel Orantı Teoremi
ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerinde ve DE ∥ BC ise ADE ~ ABC olur. Bu benzerlikten AD/AB=AE/AC=DE/BC yazılır. Aynı düzen, kenarların ayrılan parçaları için de AD/DB=AE/EC oranını verir.
Tersi de geçerlidir: D ve E iki kenarı aynı oranda bölüyorsa DE doğrusu üçüncü kenara paraleldir. Oran yazarken bir tarafta “üst parça/alt parça” seçildiyse diğer tarafta da aynı yön korunmalıdır.
Thales Teoremi ve Paralel Doğrular
En az üç paralel doğru iki kesenle kesildiğinde, paraleller arasında kalan karşılıklı parçalar orantılıdır. Bir kesende sırasıyla a ve b; diğerinde c ve d uzunlukları oluşuyorsa a/b=c/d olur. Parçaların toplamı kullanıldığında yön değiştirmemek şartıyla a/(a+b)=c/(c+d) biçimi de yazılabilir.
Kelebek Benzerliği ve Kesişen Doğrular
AB ∥ CD olan bir düzende AC ile BD doğruları O noktasında kesişiyorsa AOB ve COD üçgenleri AA ile benzerdir. Ters açılar O’da eş, paralellikten doğan yöndeş veya iç ters açılar da karşılıklıdır. Bu nedenle AO/OC=BO/OD=AB/CD oranı elde edilir.
Benzerliği Problem İçinde Tanıma
Gölge, ayna, ölçek, harita, maket ve perspektif sorularında benzer üçgenler çoğu zaman doğrudan adlandırılmaz. Paralel ışınlar, ortak görüş doğrusu, dik duran cisimler veya aynı eğim açıları AA benzerliğini kurar. Çözümde önce hangi iki üçgenin benzer olduğu belirtilmeli, sonra karşılık sırası üzerinden oran yazılmalıdır.