KPSS doğruda açılar konu anlatımı kapsamında açı türleri, komşu açılar ile tümler ve bütünler açı ilişkileri, kesişen doğrularda ters açılar, paralel doğruları kesen doğrunun açıları, kırık doğrularda yardımcı paralel kullanımı ve açıortay uygulamaları işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS Matematik konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
AÇI KAVRAMI VE AÇI TÜRLERİ
Ölçüye Göre Dar, Dik, Geniş, Doğru ve Tam Açı
Başlangıç noktaları ortak iki ışının arasında kalan açıklığa açı denir. Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılar dar, 90° olanlar dik, 90° ile 180° arasında olanlar geniş açıdır. 180° doğru açıyı, 360° tam açıyı verir. Açı adlandırılırken köşe harfi ortada bulunur: ∠AOB gösteriminde köşe O noktasıdır.
Açı ölçüsü ışınların uzunluğuna bağlı değildir. Işınları uzatmak veya kısaltmak açıyı değiştirmez; yalnız iki ışının yönleri arasındaki dönme miktarı önemlidir. Bu nedenle küçük çizilmiş bir açı, büyük çizilmiş başka bir açıdan daha geniş olabilir.
Tümler açılar, ölçüleri toplamı 90° olan iki açıdır. Ölçüleri α ve β ise α + β = 90° bağıntısı kurulur. Tümler olmak için açıların ortak köşeli olması gerekmez.
B) 45
C) 47
D) 49
E) 51
KOMŞU, TÜMLER VE BÜTÜNLER AÇILAR
Ortak Kenar ile Toplam Koşulunu Ayırma
Köşesi ve bir kenarı ortak, iç bölgeleri ayrık iki açı komşudur. Toplamları 90° olan iki açı tümler; toplamları 180° olan iki açı bütünlerdir. Tümler veya bütünler olmak için komşu olma zorunluluğu yoktur. “Komşu tümler” ya da “komşu bütünler” deniyorsa hem ortak kenar hem toplam koşulu birlikte sağlanır.
| İlişki | Zorunlu koşul | Temel bağıntı |
|---|---|---|
| Komşu açılar | Ortak köşe ve ortak kenar | Toplam şekle göre değişir |
| Tümler açılar | Toplam 90° | α+β=90° |
| Bütünler açılar | Toplam 180° | α+β=180° |
B) 90
C) 100
D) 110
E) 120
KESİŞEN DOĞRULARDA TERS AÇILAR
Karşılıklı Açıları Eşitleme, Yan Yana Açıları 180°ye Tamamlama
İki doğru kesiştiğinde karşılıklı duran açılar ters açılardır ve ölçüleri eşittir. Yan yana duran her iki açı ise bir doğru açı oluşturduğu için bütünlerdir. Bu yapı dört farklı bilinmeyen üretmez: gerçekte yalnız iki ölçü vardır; biri x ise diğeri 180°−x’tir.
B) 112
C) 116
D) 118
E) 122
BİR NOKTA ÇEVRESİNDE AÇILAR
Nokta Çevresinde Tam Dönüş
Bir noktadan çıkan ışınların oluşturduğu ardışık açılar, noktanın çevresini tam bir kez kaplıyorsa toplamları 360°dir. Eş işaretli açılar eş ölçülüdür ve aynı değişkenle gösterilebilir. Doğrunun aynı tarafındaki komşu açılar 180°, tam dönüşü oluşturan açılar ise 360° toplam verir.
B) 142
C) 148
D) 154
E) 160
PARALEL DOĞRULARI KESEN DOĞRU
Yöndeş, İç Ters, Dış Ters ve Aynı Yandaki İç Açılar
Paralel iki doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde yöndeş açılar, iç ters açılar ve dış ters açılar eşittir. Aynı yandaki iç açılar ise 180°ye tamamlanır. Ezber yerine konum okunabilir: aynı köşede aynı yönde duranlar yöndeş, iki paralelin arasında kesenin karşı tarafında duranlar iç terstir.
| Açı çifti | Paralellik varsa | Kontrol |
|---|---|---|
| Yöndeş | Eşit | Aynı yön konumu |
| İç ters / dış ters | Eşit | Kesenin karşı tarafları |
| Aynı yandaki iç | Toplam 180° | Kesenin aynı tarafı |
B) 79
C) 81
D) 83
E) 85
AÇILARLA PARALELLİK KONTROLÜ
Eşitlikten Paralel Doğru Sonucuna Geri Gitme
Kurallar yalnız paralellik verildiğinde açı bulmak için kullanılmaz. Bir kesenin oluşturduğu yöndeş açılar eşitse, iç ters açılar eşitse veya aynı yandaki iç açılar 180° ise kesilen doğrular paraleldir. Bu ters kullanım, soruda paralellik işareti bulunmadığında özellikle önemlidir.
B) 108
C) 112
D) 116
E) 120
KIRIK DOĞRULARDA YARDIMCI PARALEL
Paralellik İlişkisi ve Kırık Doğru Açıları
İki paralel doğru arasındaki kırık çizgide, kırılma noktasından bu doğrulara paralel bir yardımcı doğru geçirilmesi, uçlardaki açıların yöndeş ya da iç ters açı eşitliğiyle kırılma noktasına taşınmasını sağlar. Merkezdeki açının ölçüsü, çizimde gösterilen bölgeye göre uç açıların ölçüleri toplamına ya da 180°den bu toplam çıkarıldığında kalan ölçüye eşit olabilir.
B) 90
C) 95
D) 100
E) 105
ÇOK KIRIKLI ŞEKİLLERDE DÖNÜŞ TAKİBİ
Z ve M Kurallarını Tek Bir Toplam Ezberine İndirmeme
Birden fazla kırılma olduğunda her köşeden yardımcı paralel geçirmek, hangi dar açının hangi parçaya ait olduğunu açık eder. Aynı yöne yapılan dönüşler toplanır, ters yöndeki dönüşler çıkarılır. “Z kuralı” iç ters açı eşitliğinin, “M kuralı” ise birkaç yardımcı paralelin kısa adıdır; şekil değiştiğinde hazır toplam ezberi yanıltabilir.
B) 75
C) 80
D) 85
E) 90
AÇIORTAY VE DOĞRU ÜZERİNDE PAYLAŞIM
Bir Açıyı İki Eş Parçaya Ayırma
Açıortay, bir açıyı ölçüleri eşit iki açıya ayıran ışındır. Açıortay işareti varsa bütün açı iki eş parçanın toplamıdır; yalnız şekil simetrik görünüyor diye açıortay varsayılmaz. Komşu bütünler iki açının açıortayları arasındaki açı her zaman 90°dir, çünkü yarımların toplamı α+β2 = 180°2 olur.
B) 60
C) 72
D) 76
E) 80
BİLEŞİK AÇI SORULARINDA TEMEL NOKTALAR
Paralellik, Ters Açı Eşitliği ve Açı Toplamları
Paralellik, yöndeş ve iç ters açılarda eş ölçü ilişkisi kurar; diklik 90°lik açıyı, açıortay iki eş ölçülü açıyı belirtir. Doğru üzerindeki komşu bütünler açıların toplamı 180°; tümler açıların toplamı 90°; tam dönüşü oluşturan açıların toplamı 360°dir. Aranan bölgeye komşu olmayan verilen bir açı da yöndeş veya iç ters konumdaki eş ölçülü açı üzerinden bu bağıntılara bağlanabilir.
- Paralel doğrularda yöndeş ve iç ters açı ölçüleri eşittir; diklik işareti 90°lik açıyı belirtir.
- Açıortay bir açıyı iki eş ölçülü parçaya ayırır; tümler açıların toplamı 90°dir.
- Doğru üzerindeki komşu bütünler açıların ölçüleri toplamı 180°dir.
- Dar açı 0° ile 90° arasında, dik açı 90°, geniş açı 90° ile 180° arasındadır.
Bir üçgende iç açıların toplamı 180°dir. Bir taban köşesindeki iç açı, ona komşu dış açıyla doğru açı oluşturur; bu nedenle ölçüsü 180° eksi dış açının ölçüsüdür. Taban iç açıları α ve β ise tepe iç açısı 180° − (α + β) olur.
B) 95
C) 99
D) 103
E) 107
Sonraki konu: Üçgende Açılar ve Açı-Kenar Bağıntıları