KPSS sayısal mantık ve mantıksal muhakeme problemleri konu anlatımı kapsamında örüntüleri inceleme, sıralama ve eşleştirme koşullarını modelleme, tablo ve şemalardan sonuç çıkarma ve çok adımlı işlem zincirlerini denetleme yöntemleri işlenecektir. KPSS Matematik konularının tamamına KPSS Matematik konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ÖRÜNTÜ NEDİR?
Terim, Adım ve Kural Kavramları
Örüntü ve terim ilişkileri
Bir örüntü, terimlerin belirli bir kurala göre sıralandığı yapıdır. Sıra numarası n ile gösterildiğinde n’inci terim a_n olarak yazılır. Örneğin 7, 12, 17, 22, … dizisinde ardışık terimlerin farkı 5’tir; genel terim 7+5(n−1)=5n+2 biçiminde ifade edilir.
Ardışık terimlerin farkı sabitse örüntü aritmetiktir; oran sabitse geometriktir. İlk farklar değiştiğinde ikinci farkların sabit olması ikinci dereceden bir genel terimle ilişkilidir. Örneğin 2, 6, 12, 20, … dizisinde terimler n(n+1) kuralına uyar. Tek ve çift indisli terimler farklı kurallar izlediğinde dizi iki alt dizi olarak gösterilir. Özyinelemeli dizilerde yeni terim, önceki terimlerin bağıntısıyla tanımlanır.
Genel terim, sıra numarasıyla terim değeri arasındaki bağıntıdır. Bu ifade n=1, 2, 3 değerleriyle ilk terimleri; herhangi bir n değeriyle de ilgili terimi verir. Uzak bir terimin hesabı ara terimlerin yazılmasını gerektirmez.
Örnek - 1
7, 12, 17, 22, … örüntüsünün 30. terimi kaçtır?
A) 142
B) 147
C) 150
D) 152
E) 157
İlk terim 7, ortak fark 5’tir. Genel terim an=7+(n-1)*5=5n+2 olur. a30=5*30+2=152 bulunur.
Cevap: D
SABİT FARKLI VE SABİT ORANLI ÖRÜNTÜLER
Aritmetik ve geometrik örüntülerin özellikleri
Örnek - 2
3, 6, 12, 24, … örüntüsünün 7. terimi ile 5. terimi arasındaki fark kaçtır?
A) 96
B) 120
C) 132
D) 144
E) 156
Genel terim an=3*2n-1‘dir. Beşinci terim 3*24=48, yedinci terim 3*26=192 olur. Fark 192-48=144‘tür.
Cevap: D
DEĞİŞEN FARKLI SAYI ÖRÜNTÜLERİ
Fark dizilerinin yapısı
Örnek - 3
2, 6, 12, 20, 30, … örüntüsünün 12. terimi kaçtır?
A) 132
B) 144
C) 150
D) 156
E) 168
Terimler sırasıyla 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6 biçimindedir. Genel terim an=n(n+1) olur. a12=12*13=156‘dır.
Tek sıralı terimler 4, 7, 10, 13 biçiminde 3 artar. Çift sıralı terimler 10, 20, 40 biçiminde iki katına çıkar. Sekizinci terim çift sıradadır ve 40*2=80 olur.
Cevap: D
ÖZYİNELEMELİ ÖRÜNTÜLER
Özyinelemeli bağıntılar
Örnek - 5
a1=2, a2=5 ve an=an-1+an-2 olduğuna göre a7 kaçtır?
A) 31
B) 38
C) 43
D) 50
E) 57
Terimler sırasıyla 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50 olur. Bu nedenle yedinci terim 50’dir.
Cevap: D
GENEL TERİMDEN ÖRÜNTÜYÜ OKUMA
Genel terim ve sıra numarası
Örnek - 6
Genel terimi an=n2+2n olan örüntünün 8. terimi kaçtır?
A) 64
B) 72
C) 76
D) 80
E) 88
n yerine 8 yazılır: a8=82+2*8=64+16=80.
Cevap: D
ÜÇGENSEL VE KARESEL SAYI ÖRÜNTÜLERİ
Üçgensel sayı örüntüsü
Şekil örüntüleri
İlk dört üçgensel sayı 1, 3, 6, 10’dur ve n’inci üçgensel sayı n(n+1)2 ile bulunur. Kare sayıların n’inci terimi n²’dir. Yan yana eklenen n karede ilk kare dört kibrit, sonraki her kare üç yeni kibrit gerektirir; toplam 4+3(n−1)=3n+1 olur. Artı biçimindeki örüntüde her adımda dört kol uzar ve toplam hücre sayısı 4n−3 bağıntısıyla gösterilir.
Kendine benzer şekillerde her adım, önceki adımın parçalarının aynı kuralla çoğaltılmasıyla oluşur. Her üçgenin dört küçük üçgene dönüştüğü örüntüde birinci adımdaki bir üçgen, beşinci adımda 1·4⁴=256 üçgen verir.
Örnek - 7
Görseldeki kurala göre üçgensel nokta örüntüsünün 12. adımında kaç nokta bulunur?
A) 66
B) 72
C) 76
D) 78
E) 84
n’inci üçgensel sayı n(n+1)2‘dir. On ikinci adımda 12*132=78 nokta bulunur.
Cevap: D
ORTAK KENARLI ŞEKİL ÖRÜNTÜLERİ
Ortak kenarlı şekillerde artış
Örnek - 8
Görseldeki gibi yan yana 20 kare oluşturmak için kaç kibrit gerekir?
A) 57
B) 60
C) 61
D) 64
E) 80
İlk kare 4, sonraki 19 karenin her biri 3 yeni kibrit gerektirir. Toplam 4+19*3=61‘dir. Aynı sonuç 3n+1 kuralında n=20 yazılarak bulunur.
Cevap: C
HER YÖNDE BÜYÜYEN ŞEKİL ÖRÜNTÜLERİ
Çok yönlü şekil örüntülerinde artış
Örnek - 9
Görseldeki artı örüntüsünün 15. adımında kaç kare bulunur?
A) 53
B) 55
C) 57
D) 59
E) 61
Genel terim 4n-3‘tür. 4*15-3=57 kare bulunur.
Cevap: C
ÖZYİNELEMELİ VE KENDİNE BENZER ÖRÜNTÜLER
Özyinelemeli ve benzer şekiller
Örnek - 10
Bir fraktalın 1. adımında 1 üçgen vardır. Her yeni adımda mevcut üçgenlerin her biri 4 küçük üçgene dönüştürülüyor. Buna göre 5. adımda kaç küçük üçgen bulunur?
A) 64
B) 128
C) 192
D) 256
E) 1.024
Birinci adımdan beşinci adıma dört çoğalma vardır. Üçgen sayısı 1*44=256 olur.
Cevap: D
KOŞULLARI MODELE DÖNÜŞTÜRME
Koşul türleri ve gösterimleri
Koşul gösterimleri
Bir yerleştirme problemi; öğeler, konumlar ve aralarındaki koşullar üzerinden modellenir. Koşul türleri ile kısa gösterimleri şöyledir:
Koşul türü
Gösterim
Anlam
Sabit konum
C=3
C üçüncü konumdadır.
Önce-sonra
A<B
A, B’den önce gelir.
Bitişiklik
[D-E]
D ve E yan yana, belirtilen sıradadır.
Olumsuz eşleşme
F≠mavi
F, mavi öğeyle eşleşmez.
Bir koşul birden fazla konumla uyumluysa bu konumlar olasılık olarak kalır. Sonuç bütün uyumlu olasılıklarda aynıysa yargı kesindir; olasılıklardan en az birinde doğruysa yargı mümkündür.
Örnek - 11
P, R, S ve T raporları 1’den 4’e kadar sıralanacaktır. R, P’nin hemen arkasındadır. S birinci değildir ve T, S’den öncedir. Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi koşullara uygundur?
A) P – R – S – T
B) T – P – R – S
C) S – P – R – T
D) T – R – P – S
E) P – T – R – S
R ile P birlikte [P-R] bloğunu oluşturur. S birinci olamaz ve T, S’den önce bulunmalıdır. Bu üç koşulu aynı anda sağlayan tek seçenek T – P – R – S sıralamasıdır.
Cevap: B
SIRALAMA TABLOSU KURMA
Sıralama tablolarında konumlar
Günler, bir sıra modelinde beş konumla eşleşir. Tablodaki numaralar yalnızca hafta günlerinin sırasını gösterir; belirli bir sunumun gününü belirtmez.
Gün
Pazartesi
Salı
Çarşamba
Perşembe
Cuma
Konum
1
2
3
4
5
Birden fazla koşul, geçerli sıralamaların kümesini belirler. Bir öğenin konumu, koşulların tümüyle uyumlu sıralamalara göre değişebilir.
Sıralama, blok ve yön ilişkileri
Numaralı şerit, gün, sıra veya konum bilgisini hücrelerle eşleştirir. Sabit konumlar, hemen önce-sonra ilişkileri ve arada bulunma koşulları bu hücre ilişkileriyle gösterilir. Bir koşul zincirindeki öğelerin yerleri zincirdeki sıra koşullarını izler.
“Hemen önce”, “hemen sonra” ve “yan yana” koşulları, iç sırası belirli bir bitişik blok oluşturur. Örneğin E, C’den hemen önce ve C, D’den hemen önceyse [E-C-D] bloğunun iç sırası sabittir. Kat, raf, oda ve koltuk bilgilerinde yönler numaralandırmanın artış yönüyle eşleştirilir; “üstünde” ilişkisi kat numaralarının artış yönüne bağlıdır.
Örnek - 12
A, B, C, D ve E sunumları pazartesiden cumaya birer gün yapılacaktır. A sunumu B’den hemen önce yapılır. C salı veya perşembe günü yapılır. D, B’den sonra yapılır. E pazartesi günü yapılmaz. Buna göre C sunumu hangi gündür?
A) Pazartesi B) Salı C) Çarşamba D) Perşembe E) Cuma
A-B ikilisi pazartesi-salı günlerine yerleştiğinde C salı olamayacağından perşembe günü yapılır; D çarşamba veya cuma, E kalan gün olur. A-B ikilisi salı-çarşamba günlerine yerleşirse C perşembe ve D cuma olur; E pazartesiye kalır ve koşulu sağlamaz. A-B ikilisi çarşamba-perşembe olursa C salı, D cuma ve E pazartesi olur. Perşembe-cuma başlangıçlı A-B ikilisinde D, B’den sonra gelemez. Bu nedenle C perşembe günü sunum yapar.
Cevap: D
BİTİŞİKLİK VE BLOK YÖNTEMİ
Bitişiklik ve blok gösterimi
Örnek - 13
A, B, C, D, E ve F kişilerinin sıralamasında A birinci, B beşinci, F altıncıdır. E, C’nin hemen önünde; C de D’nin hemen önündedir. Buna göre C kaçıncı sıradadır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A, B ve F yerleştirildiğinde 2, 3 ve 4. sıralar boş kalır. [E-C-D] bloğu bu üç hücreyi doldurur. Böylece C üçüncü sırada bulunur.
Cevap: C
ÖNCE-SONRA VE ARADA OLMA İLİŞKİLERİ
Önce-sonra ve arada olma ilişkileri
Örnek - 14
I, J, K, L, M ve N kişilerinden oluşan sırada N birincidir. K, L’nin hemen arkasındadır. J, L’den önce; M ise K’den sonradır. I altıncı değildir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle altıncıdır?
A) I
B) J
C) K
D) L
E) M
N birinci olduğundan J, [L-K] bloğundan önce kalan bir konuma yerleşmelidir. M de bloktan sonra olmalıdır. I’in altıncı olamayacağı bilgisiyle son konum M’ye kalır. Olası sıralamalar değişse bile M her durumda altıncıdır.
Cevap: E
YERLEŞTİRME VE KONUM KISITLARI
Yönlü konum ilişkileri
Örnek - 15
K, L, M ve N kutuları dört katlı bir rafa, her kata bir kutu gelecek biçimde yerleştirilecektir. Katlar aşağıdan yukarıya 1, 2, 3 ve 4 diye numaralanmıştır. K, L’nin üstündedir. M ne birinci ne de dördüncü kattadır. N, M’nin hemen üstündedir. Buna göre birinci katta hangi kutu bulunur?
A) K
B) L
C) M
D) N
E) K veya N
[M-N] bloğu 2-3 veya 3-4. katlara gelebilir. Her iki durumda da K’nin L’nin üstünde olabilmesi için L birinci katta kalır. Diğer kutuların kesin katı değişebilse de L’nin konumu değişmez.
Cevap: B
EŞLEŞTİRME TABLOSU KURMA
Eşleştirme tablolarında tekil ilişkiler
Gösterim
Anlam
✓
Kesin eşleşme
*
Olanaksız eşleşme
?
Henüz belirlenmemiş eşleşme
Bir öğe yalnız bir kez kullanılabiliyorsa kesin bir eşleşme aynı satır ve sütundaki diğer olasılıkları dışlar.
Eşleştirme ve olumsuz koşullar
Eşleştirme tablosunda satırlar bir kümeyi, sütunlar ikinci kümeyi gösterir. ✓ kesin eşleşmeyi, * olanaksız eşleşmeyi, ? ise henüz belirlenmemiş eşleşmeyi belirtir. Bir öğe yalnız bir kez kullanılabildiğinde kesin eşleşme, aynı satır ve sütundaki diğer eşleşmeleri dışlar. Bir satırda veya sütunda tek olasılık kaldığında eşleşme belirlenmiştir.
Olumsuz koşullar izin verilen hücre kümesini daraltır. Örneğin A’nın birinci ve dördüncü olamayacağı bilgisi, dört konumlu bir düzende A için ikinci ve üçüncü konumları bırakır. Kesin eşleşmeler ile dışlanan eşleşmeler aynı gösterimde yer alır.
“K pazartesi ise L cuma” önermesi K’nin pazartesi olmasını şart olarak alır. Bu önerme tek başına L’nin cuma olmasından K’nin pazartesi olduğu sonucunu vermez; koşullu önermenin ters yönü ayrı bir önermedir.
Örnek - 16
A, B, C, D ve E kişileri Ankara, Bursa, İzmir, Konya ve Samsun şehirleriyle birer kez eşleştirilecektir. A Bursa, D Konya ve E Samsun ile eşleşmiştir. C, İzmir ile eşleşmemiştir. Buna göre C hangi şehirle eşleşir?
A) Bursa B) İzmir C) Konya D) Ankara E) Samsun
Bursa, Konya ve Samsun kullanılmıştır. B ile C için Ankara ve İzmir kalır. C, İzmir ile eşleşmediğinden Ankara ile eşleşir.
Cevap: D
OLUMSUZ KOŞULLARI İŞARETLEME
Olumsuz koşulların etkisi
Örnek - 17
A, B, C ve D öğrencileri 1, 2, 3 ve 4 numaralı odalara birer kişi olarak yerleştirilecektir. A ne 1 ne de 4 numaralı odadadır. B, 2 numaralı odada değildir; C de 3 numaralı odada değildir. D, 1 numaralı odadadır. Ayrıca A’nın oda numarası C’ninkinden küçüktür. Buna göre B hangi odadadır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) Belirlenemez
D birinci odadadır. A yalnız 2 veya 3. odada olabilir; fakat A’nın C’den önce olması ve C’nin 3. odada olamaması nedeniyle A ikinci, C dördüncü olur. Geriye kalan 3 numaralı oda B’ye aittir.
Cevap: C
KOŞULLU ÖNERMELERİ KULLANMA
Koşullu önermelerin anlamı
Örnek - 18
K, L, M, N ve P dersleri pazartesiden cumaya birer gün yapılacaktır. M çarşamba günüdür. N, P’den hemen önce; L ise N’den önce yapılacaktır. K pazartesi günü yapılırsa L cuma günü yapılacaktır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) K pazartesi günü yapılamaz.
B) N salı günüdür.
C) P perşembe günüdür.
D) L cuma günüdür.
E) M pazartesi günüdür.
K’nin pazartesi olduğunu varsayalım. Koşul gereği L cuma olur; ancak L’nin N’den önce, N’nin de P’den hemen önce olması için cuma sonrasında iki gün gerekir. Bu mümkün değildir. Dolayısıyla başlangıç varsayımı elenir ve K pazartesi günü yapılamaz.
Cevap: A
KESİN VE OLASI YARGILARI AYIRMA
Kesinlik ve olasılık yargıları
“Kesinlikle doğrudur” yargısı bütün geçerli düzenlerde doğrudur. “Olabilir” yargısı ise en az bir geçerli düzende doğrudur. Bir düzen, verilen koşulların tümünü aynı anda sağlayan sıralamadır.
Örnek - 19
A, B, C ve D kitapları 1’den 4’e sıralanacaktır. D, A’nın hemen ardından gelir. C, A’dan sonra bulunur. B birinci sırada değildir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) B birinci sıradadır. B) A dördüncü sıradadır. C) B ikinci sıradadır. D) D birinci sıradadır. E) C üçüncü sıradadır.
A-D bloğu birinci ve ikinci sıradaysa B ile C üçüncü ve dördüncü sıraları paylaşır; iki geçerli düzen A-D-B-C ve A-D-C-B olur. Diğer blok konumlarında koşulların tümü sağlanamaz. C’nin üçüncü olması A-D-C-B düzeninde gerçekleşir.
Cevap: E
EN ERKEN, EN GEÇ VE OLAMAZ SORULARI
Öncel ilişkileri ve konum aralıkları
Bir öğenin en erken veya en geç konumu, önünde ya da arkasında bulunması gereken öğelerle birlikte diğer konum koşullarına bağlıdır. “Olamaz” yargısı, hiçbir geçerli sıralamada gerçekleşmeyen konumu belirtir.
Örnek - 20
A, B, C, D ve E kitapları 1’den 5’e sıralanacaktır. A, E’den hemen önce bulunur. A ve C, D’den önce bulunmalıdır. Buna göre D en erken kaçıncı sırada olabilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
D birinci ya da ikinci sırada olamaz; A ve C’nin ikisi de D’den önce bulunmalıdır. D üçüncü sırada olursa A ile C’nin ilk iki yeri alması gerekir. A birinci sıradaysa E ikinci sırayı alır ve C için D’den önce yer kalmaz. A ikinci sıradaysa E üçüncü sırayı, yani D’nin yerini alır. Dördüncü sıra mümkündür: C-A-E-D-B ve A-E-C-D-B düzenleri koşulları sağlar. Bu nedenle D’nin en erken yeri dördüncü sıradır.
Cevap: D
TABLONUN DİLİNİ ÇÖZME
Tablo başlıkları ve hücre değerleri
Tablo ve kapsam ilişkileri
Bir tablo hücresinin değeri, satır başlığının belirttiği öğeye ve sütun başlığının belirttiği koşula aittir. Birim başlığı değerin ölçeğini tanımlar. Eksik hücre, ilgili satır toplamı ve sütun toplamı denklemlerinde aynı değeri karşılar; iki denklemden çıkan değerler birbiriyle tutarlı olmalıdır.
Oran, pay ve yüzde ifadelerinde pay ile paydanın kapsadığı küme veya dönem tanımlanır. “A şubesindeki salı satışlarının tüm salı satışlarına oranı” ifadesinde pay A şubesinin salı satışı, payda salı sütununun toplamıdır. Yüzde artış, artış miktarının başlangıç değerine oranıdır; toplam içindeki yüzde paydan farklıdır.
Örnek - 21
Yukarıdaki tarifede bir öğrenci 73 yolculuk yapacaktır. Biletlerin bölünemediği ve artan kullanımın iade edilmediği biliniyor. Öğrencinin ödeyebileceği en düşük tutar kaç TL’dir?
A) 87
B) 88,5
C) 90
D) 91,5
E) 93
Üç 20’li paket 60 yolculuk ve 72 TL’dir. Kalan 13 yolculuk için bir 10’lu paket ile üç tekli bilet 16,5 TL tutar; toplam 88,5 TL olur. Dört 20’li paket 96 TL olduğundan daha pahalıdır. Diğer birleşimler de 88,5 TL’nin altına inmez.
Cevap: B
SATIR VE SÜTUN TOPLAMLARINI BAĞLAMA
Satır ve sütun toplamı ilişkileri
Örnek - 22
Tabloda her satışın geliri pazartesi 25 TL, salı 30 TL ve çarşamba 20 TL’dir. B şubesinin üç günlük toplam geliri kaç TL’dir?
A) 3520
B) 3580
C) 3630
D) 3860
E) 3950
B satırında x = 153 – 52 – 47 = 54’tür. Gelir; 52*25 + 54*30 + 47*20 = 1300 + 1620 + 940 = 3860 TL bulunur. Sütun toplamından da x = 174 – 56 – 64 = 54 elde edilmesi ara değeri doğrular.
Cevap: D
ORAN VE YÜZDEYİ TABLODAN ÜRETME
Oran ve yüzde kapsamı
Örnek - 23
Yukarıdaki satış tablosuna göre A ve C şubelerinin salı satışları toplamı, pazartesi günündeki tüm satışların yaklaşık yüzde kaçıdır?
A) 75
B) 80
C) 82,5
D) 85,7
E) 90
A ve C’nin salı toplamı 56+64=120’dir. Pazartesi sütununun toplamı 140’tır. 120140=67 olduğundan yüzde değer yaklaşık %85,7’dir.
Cevap: D
PUAN TABLOSUNDAN OLASI SONUÇLARI BULMA
Puan türleri ve toplam puan
Örnek - 24
Dört takımın birbirleriyle birer maç yaptığı turnuvada toplam 6 maç oynanmıştır. Turnuva sonundaki takım puanları toplamı 15 olduğuna göre kaç maç berabere bitmiştir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Bütün maçlar galibiyetle bitse toplam puan 6*3 = 18 olurdu. Her beraberlik toplamı 1 azaltır. Toplam 15 olduğuna göre 18 – 15 = 3 maç berabere bitmiştir.
Cevap: C
MALİYET VE MİKTAR TABLOSUNU BİRLEŞTİRME
Miktar, fiyat ve birim maliyet
Maliyet ve rota modelleri
Miktar gram, birim fiyat 500 gram başına verildiğinde bir malzemenin maliyeti (miktar/500)·fiyattır. Toplam maliyet, malzeme maliyetlerinin toplamıdır; kilogram başına maliyet toplam maliyetin toplam kilogram miktarına oranıdır.
Rota şemasında hücreye ulaşma ve hücreler arasındaki bağlantılar ayrı bilgiler taşır. Bir hücreden birden fazla geçiş mümkün olsa da yalnız ilk geçişte puan alınan modelde toplam puan, ilk ziyaret edilen hücrelerin değerlerinin toplamıdır.
Karar tablosunda bir satır, satırda belirtilen koşulların birlikte sağlandığı planı gösterir. Puan, süre ve ücret koşulları aynı satırda değerlendirilir; “en az”, “en çok”, “dahil” ve “hariç” ifadeleri sınır değerlerin kümeye dahil olup olmadığını belirler.
Örnek - 25
Tablodaki tarife kullanılarak 12 kg ürün hazırlanırsa, yalnız malzeme maliyeti kaç TL olur?
A) 1440
B) 1560
C) 1620
D) 1680
E) 1740
5 kg için maliyetler sırasıyla 3,5*40 = 140; 2,5*160 = 400; 2*30 = 60 ve 2*50 = 100 TL’dir. Toplam 700 TL, kilogram başına 140 TL eder. 12 kg için 12*140 = 1680 TL bulunur.
Cevap: D
ROTA ŞEMASINDA YOL VE PUAN HESABI
Rota geçişleri ve puan toplamı
Örnek - 26
Bir oyuncu sırasıyla A (8), B (14), C (6), B (14), D (20) ve A (8) odalarından geçiyor. Her odanın puanı yalnız ilk geçişte alınır. Oyuncunun toplam puanı kaçtır?
A) 42
B) 46
C) 48
D) 52
E) 56
Çözüm: A, B, C ve D odalarının ilk geçişlerinde sırasıyla 8, 14, 6 ve 20 puan alınır. İkinci B ve A geçişlerinde puan alınmaz. Toplam puan 8 + 14 + 6 + 20 = 48’dir.
Cevap: C
KARAR TABLOSU VE ÇOKLU KOŞUL
Karar tablolarında birleşik koşullar
Örnek - 27
78 puanı olan ve en fazla 48 dakika ayırabilen bir kişi, koşullarını sağlayan planlar arasından en ucuzunu seçiyor. Hangi planı seçer?
A) K
B) L
C) M
D) N
E) Hiçbiri
K, puan ve süre koşullarını sağlar. L’de puan ve süre; N’de süre koşulu sağlanmaz. M de uygundur ancak 135 TL ile K’den pahalıdır. Bu nedenle en ucuz uygun plan K’dir.
Cevap: A
ŞEMADA EKSİK BAĞLANTIYI ÇIKARMA
Şemalarda işlem ve sonuç ilişkileri
İşlem şemaları ve sonuçlar
Bir işlem şeması, her dalda uygulanan işlemleri ve dal sonuçlarının birleştirilme biçimini tanımlar. Toplamı bilinen dallarda çarpma, toplama veya çıkarma sembolü, dalların başlangıç değerine nasıl bağlandığını belirler. Bir atama tablosunda her görev ve kişi eşleşmesi tekil kullanım kısıtlarına bağlıdır; toplam puan tüm geçerli eşleşmelerdeki hücre değerlerinden oluşur.
Bir işlemler zincirinin sonucu; ara değerlerin tanım kümesi, koşullu kol, birim ve verilen sınırlarla uyumludur. Başlangıç değerine zincirdeki işlemler yeniden uygulandığında verilen sonucun elde edilmesi, ileri yöndeki bileşimin eşitliğini gösterir.
Örnek - 28
Bir şemada giriş sayısı önce 3 ile çarpılıyor, sonuçtan 8 çıkarılıyor ve elde edilen değer iki kola ayrılıyor. Birinci kola 5 eklenip ikinci kol 2 ile çarpılıyor; iki kolun sonuçları toplanınca 71 elde ediliyor. Giriş sayısı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Giriş x olsun. Ortak ara değer 3x – 8’dir. Kolların toplamı (3x – 8 + 5) + 2(3x – 8) = 71 olur. 3x – 3 + 6x – 16 = 71, buradan 9x = 90 ve x = 10 bulunur.
Cevap: D
EN BÜYÜK VE EN KÜÇÜK SONUCU ARAMA
Atama koşulları ve toplam puan
Örnek - 29
Her görev farklı bir kişiye verilecektir. Tablodaki sayılar görev puanlarıdır. Toplam puanın en büyük değeri kaçtır?
A) 48
B) 49
C) 50
D) 51
E) 52
Her görev farklı bir kişiye verildiğinden her geçerli atamada her satırdan ve her sütundan bir hücre seçilir. Altı atamanın toplamları şöyledir: 1. görev A seçilirse 36 veya 46; B seçilirse 47 veya 48; C seçilirse 51 veya 42. En büyük toplam, 1. görev C, 2. görev A ve 3. görev B atamasında 14 + 19 + 18 = 51 olur. 19(A) ve 16(C) aynı 2. görev satırında bulunduğundan birlikte seçilemez.
Cevap: D
SONUCU ÇAPRAZ DENETLEME
İşlem sonucunun tutarlılık koşulları
Örnek - 30
Bir tabloda dört grubun katılımcı sayıları 84, 96, 108 ve x; toplam 420 olarak verilmiştir. x grubundakilerin %25’i ile 108 kişilik grubun üçte biri ayrılırsa geriye toplam kaç kişi kalır?
A) 342
B) 348
C) 351
D) 360
E) 366
x = 420 – (84 + 96 + 108) = 132’dir. x grubunun %25’i 33, 108’in üçte biri 36 kişidir. Toplam 69 kişi ayrılır; 420 – 69 = 351 kişi kalır. Toplam kontrolü, yanlışlıkla 132’nin %75’ini çıkarma gibi hataları engeller.
Cevap: C
İŞLEM ZİNCİRİNİ SATIRLARA AYIRMA
İşlem zincirlerinde ara değerler
İşlem zinciri ve ters işlemler
Bir girdi x için işlem zinciri x → x+10 → 2(x+10) → 2(x+10)−14 → [2(x+10)−14]/2 biçimindedir. Ara değerler, her aşamanın girdisi ve çıktısıdır.
Ters işlem, önceki işlemin etkisini geri alır. Toplama çıkarma ile, çarpma bölme ile terslenir; bileşik zincirde ters işlemler özgün işlemlerin ters sırasıyla uygulanır.
Koşullu dallanmada ara değerin özelliği sonraki işlemi belirler. Örneğin çift n için n2, tek n için 3n+1 uygulanır; elde edilen değer sonraki turun girdisidir. Döngüde tekrar sayısı, başlangıç değeri, dönüşüm kuralı ve eşik koşulunun hangi aşamada denetlendiğine bağlıdır. 3 sayısına her turda 2 ile çarpıp 1 eklendiğinde değerler 7, 15, 31, 63 ve 127 olur; 100 eşiği beşinci turda aşılır.
Örnek - 31
Bir sayının 3 katından 8 çıkarılıyor, sonuç 5 ile çarpılıyor ve 10’a bölünüyor. Son değer 17 ise başlangıç sayısı kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
Son işlemden geriye doğru hesaplama: 17*10=170, 1705=34, 34+8=42 ve 423=14. İleri kontrol: (3*14-8)*510=17.
Cevap: C
TERSİNE İŞLEM YÖNTEMİ
Ters işlemler ve başlangıç değerleri
Örnek - 32
Bir depodaki ürünlerin önce dörtte biri satılıyor, kalanların üçte biri başka şubeye gönderiliyor. Son durumda depoda 120 ürün kaldığına göre başlangıçta kaç ürün vardı?
A) 180
B) 210
C) 240
D) 270
E) 300
İkinci işlemden sonra kalan miktar, önceki miktarın 23‘üdür. 120 ÷ (23)=180. İlk satıştan sonra 180 ürün, başlangıcın 34‘üdür; 180 ÷ (34)=240.
Cevap: C
KOŞULLU DALLANMAYI YÖNETME
Koşullu dallanma bağıntıları
Ara sonuç
Uygulanacak kol
Sonraki değer
Çift n
n2
Yarıya iner
Tek n
3n+1
Yeni çift değer oluşur
Örnek - 33
x sayısına 7 ekleniyor. Sonuç çiftse ikiye bölünüyor, tekse 3 ile çarpılıp 1 ekleniyor. x=12 ve x=15 için elde edilen değerlerin farkının mutlak değeri kaçtır?
A) 35
B) 41
C) 47
D) 53
E) 59
x=12 için 19 tek olduğundan 3*19+1=58. x=15 için 22 çift olduğundan 222=11. Mutlak fark |58-11|=47’dir.
Cevap: C
DÖNGÜ VE TEKRAR SAYISI
Döngüler ve tekrar sayısı
Örnek - 34
Başlangıçta 3 olan sayı her turda 2 ile çarpılıp 1 artırılıyor. Değer ilk kez 100’ü geçtiğinde işlem duruyor. Kaç tur uygulanmıştır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Tur sonları 7, 15, 31, 63 ve 127’dir. 100 sınırı ilk kez beşinci turda aşılır.
Cevap: C
ZAMAN VE SAAT DÜZELTMELERİ
Saat sapması ve gerçek zaman
Zaman ve birim dönüşümü
İleri giden bir saatin gösterdiği değer gerçek zamandan ileridedir; geri kalan saatin gösterdiği değer gerçek zamandan geridedir. Gerçek zaman, ileri sapmada gösterimden sapmanın çıkarılmasıyla, geri sapmada sapmanın eklenmesiyle bulunur. İki olay arasındaki gerçek süre, düzeltilmiş gerçek zamanlar arasındaki farktır.
Hız, fiyat, kapasite ve üretim hesabında çarpılan nicelikler uyumlu birimlerle ifade edilir. Dakikalık üretim ile saatlik süre birlikte kullanıldığında süre dakika veya üretim saat başına çevrilir. Verim yüzdesi üretim miktarına uygulanır; kapasite değerinden ayrı tutulur.
Örnek - 35
10 dakika ileri giden saate göre 09.25’te başlayan bir toplantı, 6 dakika geri kalan saate göre 11.14’te bitiyor. Toplantı kaç dakika sürmüştür?
A) 115
B) 119
C) 125
D) 129
E) 135
Başlangıcın gerçek zamanı 09.15, bitişin gerçek zamanı 11.20’dir. Süre 2 saat 5 dakika, yani 125 dakikadır.
Cevap: C
BİRİM DÖNÜŞÜMLÜ İŞLEM ZİNCİRİ
Birim dönüşümü ve işlem zinciri
Örnek - 36
Bir makine dakikada 18 parça üretiyor. Her 45 dakikalık çalışmadan sonra 15 dakika duruyor. Makine 4 saatlik sürede ürettiği parçaların %10’unu kalite kontrolünde ayırıyor. Sağlam parça sayısı kaçtır?
A) 2720
B) 2808
C) 2916
D) 3024
E) 3240
Dört saat 240 dakikadır ve dört adet 60 dakikalık çalışma-dinlenme döngüsü içerir. Aktif süre 4*45=180 dakika, üretim 180*18=3240 parçadır. %90’ı sağlam olduğundan 3240*0,90=2916 bulunur.
Cevap: C
GİZLİ DEĞİŞKENLİ KURAL ÇIKARMA
Girdi-çıktı bağıntıları
Girdi-çıktı, süreç bileşimi ve çok adımlı seçim
Sonlu girdi-çıktı çiftleri, tek bir bağıntıyı her zaman belirlemez. Bir bağıntı tüm verilen çiftleri karşılar ve yeni girdide tek bir çıktı üretirse tabloyla uyumludur. Fark, oran veya doğrusal bağıntı, örnek çiftlerin sınadığı matematiksel modellerdir.
A ve B süreçlerinde önce A, sonra B uygulanıyorsa bileşik gösterim B(A(x)) olur. Genel olarak B(A(x)) ile A(B(x)) eşit olmak zorunda değildir.
Çok aşamalı seçimlerde son değer, her aşamanın ve sonraki işlemlerin bileşik sonucudur. Bir ara aşamadaki en büyük değer, sonraki katsayı ve kısıtlar farklı olduğunda toplamı en büyük yapmayabilir. Karşılaştırılan sonuçlar aynı birimde ve tüm aşamalar tamamlandıktan sonra tanımlanır.
Örnek - 37
Tablodaki makine doğrusal bir kurala göre çalışıyor. Çıktısı 83 olan girdinin değeri kaçtır?
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
Girdi 3 artarken çıktı 12 arttığı için katsayı 4’tür. 11=4*2+3 olduğundan kural 4x+3’tür. 4x+3=83, x=20 bulunur.
Cevap: C
İKİ SÜRECİ BİRLEŞTİRME
Süreç bileşimi ve işlem sırası
Örnek - 38
A makinesi girdiyi 3 ile çarpıp 2 azaltıyor. B makinesi girdinin karesinden 5 çıkarıyor. 2 sayısı önce A’ya, sonra B’ye girerse sonuç kaçtır?
A) 6
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15
A(2)=3*2-2=4. Bu değer B’ye girer: B(4)=4²-5=11.
Cevap: C
UYGUN YÖNTEMİN BELİRLENMESİ
Çok aşamalı seçimlerin toplam etkisi
Örnek - 39
Başlangıç puanı 20’dir. K seçeneği puanı 12 artırıp sonraki adımda 2 ile çarpar; L seçeneği puanı 20 artırıp sonraki adımda 32 ile çarpar. Son adımda her iki sonuçtan 8 çıkarılır. Hangi seçim kaç puan avantaj sağlar?
A) K, 2
B) K, 4
C) L, 2
D) L, 4
E) Eşit
K sonucu (20+12)*2-8=56’dır. L sonucu (20+20)*32-8=52’dir. İlk artışı küçük olmasına rağmen K, çarpan etkisiyle 4 puan avantaj sağlar.
Cevap: B
BÜTÜN ZİNCİRİ DENETLEME
İşlem zincirlerinde tutarlılık ilişkileri
Örnek - 40
Bir sayı önce %20 artırılıyor, sonra elde edilen değerin 18 eksiği 3’e bölünüyor. Sonuç 34 olduğuna göre başlangıç sayısı kaçtır?
A) 90
B) 95
C) 100
D) 105
E) 110
Başlangıç x ise 1,2x-183=34 olur. Buradan 1,2x-18=102, 1,2x=120 ve x=100 bulunur. İleri kontrol: 100’ün %20 artırılmış değeri 120, 18 eksiği 102, üçte biri 34’tür.
